sábado, 19 de noviembre de 2016

Dos ejercicios de Topología General

1.- Sean $X$ espacio topológico y $A,B\subset X$ tales que $X=A\cup B$. Prueba que para $M\subset A\cap B$ que es abierto de $A$ y abierto de $B$ se tiene que $M$ es abierto de $X$.

Solución. Por ser abierto relativo, existen $U,V$ abiertos de $X$ tales que $M=A\cap U,\;\;M=B\cap V$. Notemos que

                         $A\cap U\cap V=M\cap V=B\cap V\cap V =B\cap V=M$
                         $B\cap V\cap U=M\cap U=A\cap U\cap U =A\cap U=M$

De las relaciones anteriores se sigue que
                                    $M=M\cup M=(A\cap U\cap V)\cup (B\cap U\cap V)$
                                                          $=(A\cup B)\cap (U\cap V)$
                                                          $=X\cap (U\cap V)$
                                                          $=U\cap V$.
Así, $M=U\cap V$, cual es abierto de $X$. $\bullet$


2.- Sean $X$ espacio topológico y $U,V\subset X$ abiertos y densos. Prueba que $U\cap V$ es denso en $X$.

Solución. Tomemos $W\subset X$ abierto. Queremos probar que $W\cap (U\cap V)\neq \emptyset$. Como $V$ es abierto, la intersección $V\cap W$ es también abierto. Por otro lado, como $V$ es denso se tiene que $V\cap W\neq \emptyset$. Finalmente, de esto se obtiene

                                      $V\cap (U\cap W)= (U\cap V)\cap W\neq \emptyset$

como se quería probar. $\bullet$





domingo, 6 de noviembre de 2016

Nudos en el Toro

En la teoría de nudos, un nudo de toro es un tipo especial de nudo que se encuentra en la superficie de un toro en $\mathbb R^3$. Cada nudo de toro se especifica por un par de números enteros coprimos $p$ y $q$. Un enlace de toro surge si $p$ y $q$ no son coprimos (en cuyo caso el número de componentes es gcd$(p, q)$). Un nudo de toro es trivial si y sólo si $p$ o $q$ es igual a $1$ o $-1$. El ejemplo más simple no trivial es el nudo $(2,3)$-torus, también conocido como nudo de trébol.

El nudo $(p, q)$-torus puede ser dado por la parametrización:
$x=r\cos(p\,\phi )$
$y=r\sin(p\,\phi )$
$z=-\sin(q\,\phi )$
donde $r=\cos(q\,\phi)+2$ y $0<\phi<2\pi$. Esto se encuentra en la superficie del toro dada por $(r-2)^{2} + z^{2} = 1$ (dada en coordenadas cilíndricas).

En el siguiente applet puedes observar diferentes ejemplos del nudo $(p, q)$-torus. Cambia los valores de $p$ y $q$. También puedes rotar la vista 3D haciendo click con el botón derecho del ratón.


jueves, 3 de noviembre de 2016

Transformación de helicoide

El helicoide puede ser continuamente deformado en un catenoide mediante la transformación

$x(u,v)= \cos \alpha \,\text{senh}\, v \,\text{sen}\, u+  \text{sen}\,  \alpha\, \text{cosh}\, v \,\cos u$

$y(u,v)=- \cos \alpha\, \text{senh}\, v\, \cos u+  \text{sen}\,  \alpha \,\text{cosh}\, v\, \text{sen} \, u$

$y(u,v)=u\, \cos \alpha +v \, \text{sen}\, \alpha.$

Donde $\alpha = 0$ corresponde a un helicoide y $\alpha = \pi / 2$ a un catenoide.




domingo, 25 de septiembre de 2016

Dos ejercicios de Topología General

1.- Sea $X=[-1,1]\subset \mathbb{R}$ y consideremos la colección de subconjuntos de $X$ dada por

                                      $\tau=\{U\subset X\:  |\:  0\notin U\;\;   ó\;\;    (-1,1)\subset U\}$

Pruebe que $\tau$ es una topología para $X$ y determine todos sus cerrados.

Solución. Dado que $0\notin \emptyset$, se sigue que $\emptyset \in \tau$ y como $(-1,1)\subset X$ se tiene que $X\in \tau$. 

Consideremos ahora una colección $\{U_i\}_{i\in I}$ de elementos de $\tau$.

(i) Si $0\notin U_i, \forall i$, entonces $0\notin \bigcup_{i\in I}U_i$ y la unión es elemento de $\tau$.
(ii) Por otro lado, si existe $j$ tal que $(-1,1)\subset U_j$, se tiene que $(-1,1) \subset \bigcup_{i\in I}U_i$ y también la unión es elemento de $\tau$.


Tomemos ahora la colección $\{U_i\}_{i\in I}\subset \tau$, con $I$ finito. 

(i) Si $(-1,1)\subset U_i,\forall i$, entonces $(-1,1)\subset \bigcap_{i\in I}U_i$ y la intersección $\cap_{i\in I}U_i$ pertence a $\tau$.
(ii) Por otro lado, si existe $j\in I$ tal que $0\notin U_j$, entonces $0\notin \bigcap_{i\in I}U_i$ y como antes $\cap_{i\in I}U_i\in \tau$.

Para los cerrados: $A\subset X$ cerrado $\leftrightarrow$ $X\backslash A\in \tau$; por definición de los abiertos se tiene que $A$ cerrado $\Longleftrightarrow\;0\notin X\backslash A$ ó $(-1,1)\subset X\backslash A$. De aquí se sigue que $0\in A$ ó $A\subset X\backslash (-1,1)$. Con esto concluimos que los cerrados son 

                  $0\in A,\:A=\emptyset,\:A=\{-1\},\:A=\{1\},\:A=\{1,-1\}.\;\; \blacksquare$



2.- Sean $\tau_1,\tau_2$ topologías para $X$. Pruebe que $\tau_1\cap \tau_2$ también es topología.

Solución. Dado que $\tau_1,\tau_2$ son topologías, $\emptyset,X\in \tau_1,\tau_2$ y por lo tanto también $\emptyset,X\in \tau_1\cap \tau_2$.

Consideremos $\{U_i\}_{i\in I}$ una colección en $\tau_1\cap\tau_2$. Por definición tenemos que $\{U_i\}_{i\in I}\subset \tau_1$ y $\{U_i\}_{i\in I}\subset \tau_2$ y como $\tau_1,\tau_2$ son topologías se tiene que

                             $\cup_{i\in I} U_i\in \tau_2,\;\;\cup_{i\in I} U_i\in \tau_2$

y por tanto $\cup_{i\in I} U_i\in \tau_1\cap \tau_2$. Para el caso de la intersección se procede de la misma forma (tomando $I$ finito).  $\blacksquare$


El resultado anterior puede ser generalizado: dada $\{\tau_i\}_{i\in I}$ una colección de topologías para un conjunto $X$, la intersección $\cap \{\tau_i\}_{i\in I}$ es también una topología para $X$.

El resultado anterior no es cierto para el caso de la unión...