miércoles, 10 de mayo de 2017

Dibujando grafos

Con la siguiente aplicación (html5, javascript):


puedes diseñar tus propios grafos, como el que se muestra abajo, definido como
$$6:1-4,1-5,1-6,2-4,2-5,2-6,3-4,3-5,3-6$$

El interior del toro

Seguramente has visto un toro (una dona) desde el exterior. Pero ¿alguna vez te has preguntado cómo se ve el toro por dentro? Con el siguiente applet puedes explorar el interior del toro.

Instrucciones:

1. Usa el ratón para girar en el interior o para salir del toro (click sin soltar botón hacia izquierda y derecha, o arriba y abajo).
2. Mueve los deslizadores para cambiar los parámetros que definen a este toro en particular.

lunes, 8 de mayo de 2017

Espacio separable

Decimos que un subespacio $A\subset X$ es denso en $X$ si $\overline{A}=X$. Observemos que, utilizando la caracterización de la cerradura en términos de abiertos, se tiene que $A$ es denso si, y sólo si, todo abierto no vacío de $X$ intersecta a $A$.


Ejemplo 1. Observemos que en cualquier espacio dotado de la topología trivial, cualquier subconjunto no vacío es denso. Por el contrario, en cualquier espacio dotado de la topología discreta ningún subconjunto propio es denso.$\blacktriangleleft$

Ejemplo 2. Sea $X$ con la topología del complemento finito y $W\subset X$ infinito. Recordemos que $U\subset X$ es cerrado si y solo si $C=X$ ó $C$ es finito. Así, cualquier cerrado que contenga a $W$ debe ser todo $X$ y por lo tanto es denso.$\blacktriangleleft$


Un espacio topológico es llamado separable (ó de Fréchet) si contiene un subconjunto denso  y numerable. 

Ejemplo 3. La recta real $\mathbb{R}$ con la topología usual es separable pues el conjunto de los racionales $\mathbb{Q}$ es denso y numerable.$\blacktriangleleft$ 

Ejemplo 4. Consideremos a la recta $\mathbb{R}$ con la topología del complemento finito. Sea $A\subset \mathbb{R}$ numerable e infinito. Dado que  $A\subseteq \overline{A}$ el Ejemplo 2 de arriba nos dice que $\overline{A}=\mathbb{R}$ y por lo tanto $A$ es denso. En particular, el conjunto de los enteros $\mathbb{Z}$ es denso y por tanto $\mathbb{R}$ con la topología del complemento finito es separable.$\blacktriangleleft$

Ejemplo 5.  Tomemos a la recta real $\mathbb{R}$ con la topología del complemento numerable. En estas condiciones cualquier subconjunto numerable es cerrado (por definición de la topología) y por tanto coincide con su propia cerradura. Así, la recta $\mathbb{R}$ con la topología del complemento numerable no es separable pues $\mathbb{R}$ no es numerable.$\blacktriangleleft$

A continuación algunos resultados sobre espacios separables:


Proposición. La propiedad de ser separable se hereda a subconjuntos abiertos. Es decir, si $X$ es  espacio separable y $U\subset X$ abierto, entonces $U$ es también separable.

Demostración. Puesto que $X$ es separable, existe $D\subset X$ denso y numerable. Notemos que $D\cap U$ es subconjunto numerable de $U$. Afirmación: $D\cap U$ es denso en $U$.
Tomemos $x\in U$ y cualquier vecindad $N$ de $x$ en $X$. Por el Lema 2.17 en [1] se tiene que $U\cap N$ es vecindad de $x$ en $U$. Además, por la caracterización mencionada al principio de esta entrada se sigue que
   
                          $(U\cap N)\cap D\neq \emptyset\qquad \Rightarrow N\cap(U\cap D)\neq \emptyset$

Esto muestra que $x\in \overline{U\cap D}$; es decir, $U\subset \overline{U\cap D}$. Finalmente, usando el Lema 2.18 en [1], obtenemos la igualdad
\begin{eqnarray*}
\overline{U\cap D}=U\cap \overline{U\cap D}=U
\end{eqnarray*}
donde el lado izquierdo es la cerradura en $U$. Así, $U$ es separable al tener a $U\cap D$ como subconjunto denso y numerable $\blacksquare$

El resultado anterior no es cierto para subconjuntos cerrados:

Tarea. Considere la recta real $\mathbb{R}$ y $\tau$ la topología de la inclusión de $2\in \mathbb{R}$. Pruebe que $\mathbb{R}$ con esta topología es separable pero que el subespacio cerrado $\mathbb{R}\backslash\{2\}$ no lo es.$\blacktriangleleft$


ProposiciónLa propiedad de ser separable se preserva bajo funciones continuas y sobreyectivas. Es decir, si $X$ es espacio separable y $f:X\to Y$ continua y sobreyectiva, entonces $Y$ es también separable.

Demostración. Puesto que $X$ es separable, existe $D\subset X$ denso y numerable. Notemos que  $f(D)\subseteq Y$ es también numerable. Resta ver que $f(D)$ es denso en $Y$.
Recordemos que, por el Lema 3.2 en [1], $f$ es continua si, y sólo si, se tiene $f(\overline{A})\subseteq \overline{f(A)}$, para cualquier $A\subset X$. En particular,
       
                                     $f(X)=f(\overline{D})\subseteq \overline{f(D)}\subset Y$

pero como $f$ es sobreyectiva, $f(X)=Y$ y la inclusión anterior tiene la forma $Y\subseteq \overline{f(D)}\subseteq Y$. Así, $\overline{f(D)}=Y$ como se quería.$\blacksquare$



Notas finales

La propiedad de ser separable se preserva bajo productos (el producto de dos espacios separables es también separable) pero, como se muestra en la Tarea de arriba, no es una propiedad que se herede a cualquier subespacio. La presencia de un subconjunto denso y numerable en un espacio separable $X$ permite cierto control sobre el número de abiertos para construir una topología en $X$ y sobre el número de abiertos para una cubierta abierta de $X$. Dicho en otras palabras: todo espacio métrico y separable tiene una base numerable (es decir, es segundo numerable). 


Referencias.
[1] McCluskey, A., McMaster, B., Undergraduate Topology, Oxford University Press, 2014.






lunes, 1 de mayo de 2017

El Cálculo Hecho Fácil

En esta (pequeña) entrada nos permitiremos traducir algunos párrafos del libro Calculus Made Easy de S.P. Thompson escrito en 1910 [1]. El título original del libro es:

Calculus Made Easy: being a very-simplest introduction to those beautiful methods of reckoning which are generally called by the terrifying names of the Differential Calculus and the Integral Calculus

cuya traducción podría ser:

Cálculo Hecho Fácil: una muy-simple introducción a aquellos hermosos métodos de conteo que generalmente son llamados con los terribles nombres de Cálculo Diferencial y Cálculo Integral

El primer capítulo, titulado To deliver you from the preliminary terrors (algo así como Para liberarte de los terrores preliminares), consiste de dos páginas que nos disponemos a traducir pues rara vez puede encontrarse en los libros de texto explicaciones tan sencillas y a la vez tan ilustrativas:

El terror preliminar, el cual asfixia a la mayoría de los chicos quinceañeros al intentar aprender a cómo calcular, puede ser suprimido para siempre simplemente estableciendo cuál es el significado - en términos comunes - de dos de los símbolos principales que son usados al calcular. Estos espantosos símbolos son:

(1) $d$, el cual simplemente significa "un pequeño pedazo de".

Con esto $dx$ significa un pequeño pedazo de $x$; o $du$ significa un pequeño pedazo de $u$. Los matemáticos ordinarios piensan que es más correcto decir "un elemento de" en vez de "un pequeño pedazo de" pero como a ti te guste pero encontrarás que estos pequeños pedazos (o elementos) pueden ser considerados infinitamente pequeños.

(2) $\int$, el cual es simplemente una larga S a la cual puedes llamar (si así lo quieres) "la suma de". 

Con esto, $\int dx$ significa la suma de todos pequeños pedazos de $x$; o $\int dt$ significa la suma  de todos los pequeños pedazos de $t$. Los matemáticos ordinarios llaman a este símbolo "la integral de". Ahora, cualquier tonto puede ver que si $x$ es considerado como constituido por muchos pequeños pedazos, cada uno de ellos llamado $dx$, si los sumas todos obtienes la suma de todos los $dx$'s, que es la misma cosa que el $x$ completo. La palabra "integral" significa simplemente "el completo". Si piensas en la duración de una hora, puedes pensar (si quieres) que está dividida en 3600 pequeños pedazos llamados segundos. La totalidad de los 3600 segundos sumados hacen una hora.

Cuando veas una expresión que empieza con este terrible símbolo sabrás, de ahora en adelante, que está ahí para darte las instrucciones de que estás por efectuar la operación (si puedes) de sumar todos los pequeños pedazos que están indicados por el símbolo que le sigue. 

Eso es todo.


Observemos que lo descrito en el antepenúltimo párrafo corresponde con el cálculo $\int dx=x$ que uno aprende en las primeras clases de un curso de cálculo.



Referencias

[1] Thompson, Calculus Made Easy, The Macmillan Company, 2nd edition, 1914. La primera edición es de 1910 y fué re-impreso en 1911, 1912 y 1913.

domingo, 23 de abril de 2017

Proyección estereográfica (en dimensión 2)

Lo expuesto en esta entrada se relaciona y amplía lo expuesto aquí

Considere el plano $\mathbb{R}^2$, la esfera unitaria $S^2$ y $N=(0,0,1)$ su polo norte. Pruebe que $\mathbb{R},\:S^2\backslash{N}$ son espacios homeomorfos.

Solución. Definiremos una función $f:S^2\backslash\{N\}\to \mathbb{R}^2$ como sigue: dado el punto $(x,y,z)\in S^2\backslash{N}$ consideramos la línea que une a $N$ con $(x,y,z)$; el punto de intersección de dicha línea con el plano $\mathbb{R}^2\subset \mathbb{R}^3$ es el valor de $f(x)$. Observemos que la función $f$ manda el hemisferio inferior de la esfera al disco unitario en $\mathbb{R}^2$ y el hemisferio superior al exterior del disco. Véase la figura de abajo. 

También puedes usar el siguiente applet: Mueve el punto A definido en la esfera. Puedes cambiar la perspectiva 3d con el ratón.


Para conocer las coordenadas de la función $f$ hagamos $f(x,y,z)=(u,v)$ y denotamos $r^2=x^2+y^2,\;s^2=u^2+v^2$. Observemos que se tienen dos triángulos semejantes como se muestra en la figura: 

Por la semejanza se tiene que
$$\frac{r}{1-z}=\frac{s}{1}\Leftrightarrow \frac{s}{r}=\frac{1}{1-z}.$$ 
Proyectando dichos triángulos a los planos $y=0, x=0$ se obtiene
$$\dfrac{x}{1-z}=u,\qquad \dfrac{y}{1-z}=v.$$

De aquí tenemos que $f(x,y,z)=(u,v)=\frac{1}{1-z}(x,y)$ donde se observa que $f$ es continua. Obtendremos el resultado buscado mostrando que $f$ es homeomorfismo dando explícitamente a su inversa para lo cual usamos las relaciones anteriores:
\begin{eqnarray}\label{eq1}
 \frac{x}{1-z}=u,\qquad \frac{y}{1-z}=v,\qquad \frac{r}{1-z}=s,\qquad z^2=1-r^2
\end{eqnarray}
De la relación (\ref{eq1}) se obtiene que $$1+s^2=\frac{(1-z)^2+r^2}{(1-z)^2};$$ 
y como $z^2=1-r^2$ obtenemos $$1-z=\frac{2}{1+s^2}.$$ Dado que $x=u(1-z),y=v(1-z)$ se tiene que 
$$x=\dfrac{2u}{1+s^2},\qquad y=\dfrac{2v}{1+s^2}$$
y finalmente $$z=\frac{s^2-1}{1+s^2}.$$
Con lo que definimos $f^{-1}:\mathbb{R}^2\to S^2\backslash \{N\}$ mediante
$$f^{-1}(u,v)=(x,y,z)=\dfrac{1}{1+s^2}(2u,2v,s^2-1).$$

Claramente $f^{-1}$ es una función continua por lo que $f$ es homeomorfismo y el resultado se obtiene.


Nota final. El argumento anterior (y una de las figuras) fue tomado del libro Topology: a geometric approach de T. Lawson. Invitamos al lector a consultar el libro para cerciorarse que la elección del polo norte $N$ es totalmente arbitraria: es posible escoger otro punto y obtener espacios homeomorfos.