jueves, 9 de febrero de 2017

Homotopía (parte I)

El concepto de homotopía goza de una naturaleza geométrica muy intuitiva: homotopía es una deformación continua de objetos como espacios o funciones continuas. En esta entrada daremos la definición precisa y daremos ejemplos de homotopías.



Homotopía para funciones

Decimos que dos funciones continuas $f,g:X\to Y$ son homotópicas si existe una función continua

                                                              $H:X\times I\to Y$

tal que $H(x,0)=f(x),\;H(x,1)=g(x),\forall x\in X$. La función $H$ es llamada una homotopía entre $f$ y $g$ y se usa la notación $f\simeq_{H} g$ para designar a dos funciones homotópicas o simplemente $f\simeq g$ si la homotopía se sobreentiende o no hay necesidad de enfatizarla.


Notemos que para cada $t\in I$, la homotopía $H$ determina una función continua $H_t:X\to Y$, donde $H_t(x)=H(x,t)$. De esta consideración se obtiene que la relación de homotopía $\simeq$ corresponde a la idea de una deformación continua de la función $f$ en la función $g$ a través de la familia de funciones $\{H_t(x)\}_{t\in I}$.





Es sencillo mostrar que la relación de homotopía $\simeq$ es una relación de equivalencia en el espacio $Map(X,Y)$ de funciones continuas de $X\to Y$. Así, dada $f\in Map(X,Y)$ su clase de equivalencia esta dada por


                                                             $[f]=\{g:X\to Y  |   g\simeq f\} $


y es llamada la clase de homotopía de $f$. Es importante mencionar que la homotopía permite definir propiedades estables como aquellas que permanecen dentro de la clase de homotopía de una función. Son estas propiedades las que se consideran al construir invariantes (algebraicos) dentro de la Topología Algebraica.


La palabra homotopía fué acuñada por M. Dehn (1878-1952) y P. Heegaard (1871-1948) quienes la usaron en un contexto combinatorio ([1]). E. Steinitz (1871-1928) fue de los primeros matemáticos en usar el concepto de homotopía sin embargo L.E.J. Brouwer (1881-1966) fue el primero en dar la definición moderna de homotopía de arriba ([2])


L.E.J. Brouwer


Tomemos $Y\subseteq \mathbb{R}^n$ convexo. Para cualesquiera funciones $f,g:X\to Y$ consideremos la homotopía $H:X\times [0,1]\to Y$ dada por

                                                         $H(x,t)=(1-t)f(x)+tg(x)$

Notemos que $H$ es función continua y además $H(x,0)=f(x)$ y $H(x,1)=g(x)$, por lo que define una homotopía entre $f$ y $g$; así. cualesquiera funciones continua $f,g$ en un convexo de $\mathbb{R}^n$ son homotópicas. La homotopía de arriba es  llamada homotopía de lineas. 


El ejemplo anterior es de gran importancia para estudiar las propiedades homotópicas de subconjuntos de espacios euclidianos. Es de observarse que la continuidad de la homotopía de lineas se deriva de la continuidad de las operaciones de suma y producto escalar en $\mathbb{R}^n$. Por esta razón la homotopía de lineas solo es posible definirla en un espacio vectorial donde tales operaciones sean continuas como en un espacio vectorial normado.



Homotopía para espacios

La homotopía entre funciones permite definir una nueva relación de equivalencia entre espacios topológicos: se dice que $X,Y$ tienen el mismo tipo de homotopía si existen funciones continuas $f:X\to Y,\;\;g:Y\to X$ tales que

                                                      $f\circ g\simeq 1_Y, \;\;\;g\circ f\simeq 1_X$


Usaremos la notación $X\simeq Y$ para denotar a espacios con el mismo tipo de homotopía. Bajo estas circunstancias las funciones $f,g$ son llamadas equivalencias homotópicas y también se dice que una es inversa homotópica de la otra.


Al igual que antes, la propiedad de tener el mismo tipo de homotopía es una relación de equivalencia. Dado que tener una inversa continua es una relación más fuerte que tener una inversa homotópica, cualesquiera espacios homeomorfos tienen el mismo tipo de homotopía. Es decir, la relación de ser del mismo tipo de homotopía es una noción más débil que ser homeomorfos. A continuación mostramos que el recíproco de la afimación anterior no es cierto:


Sean $X=S^1$ circunferencia unitaria en $\mathbb{R}^2$ y $Y=S^1\cup ([1,2]\times \{0\})$ como en la figura abajo.






Observemos que $X,Y$ no son homeomorfos pues si existiera homeomorfismo $f:Y\to X$ se tendría, para $m_1=(1,0)$, que $X\backslash\{f(m_1)\}$ es conexo pero claramente $Y\backslash \{m_1\}$ no lo es; por lo tanto no pueden ser homeomorfos.

Por otro lado tomemos la inclusión $i:X\to Y$ y la función $g:Y\to X$ dada por
        
                               $g(x)=\begin{cases}x,&x\in S^1\\m_1,&x\in [1,2]\times \{0\} \end{cases}$

Notemos que $g\circ i=1_X,\;i\circ g\simeq_H 1_Y$, donde la homotopía $H:Y\times I\to Y$ está dada por 

                 $H(x,t)=\begin{cases}x,&x\in S^1\\tx+(1-t)m_1,&x\in [1,2]\times \{0\}\end{cases}$


En el ejemplo anterior se ilustra el hecho de que en una homotopía es posible comprimir un espacio o una parte de él.


Referencias

1.- Dehn, M., Heegaard, P., Analysis Situs, Enzykl. der math. Wiss., III 1 AB 3, Teubner, Leipzing, 1907. 
2.- Brouwer, L.E.J., Collected Works, vol. II, North Holland Amsterdam, 1976.


jueves, 26 de enero de 2017

Invitación a la Topología (parte II)

Como se mencionó previamente, es preciso contar con una definición más general de límite y de continuidad de manera que pueda aplicarse en varios contextos. Un primer paso para lograr esto es a través del concepto de espacio métrico.


Para calcular la distancia entre dos objetos se deben cumplir ciertas propiedades para que sea una operación útil y aplicable para calcular trayectorias, determinar lugares geométricos y para mediciones más elaboradas; las propiedades que debemos exigir son las usuales:


  1. Se quiere que la distancia $d(x,y)$ entre $x,y$ sea un número positivo y que sea cero en el caso de que $x=y$.
  2. Que la distancia de $x$ a $y$ sea la misma que la distancia de $y$ a $x$; es decir, que halla simetría en la determinación de la distancia.
  3. Queremos que dos objetos que sean cercanos a un tercero sean cercanos entre si; es decir,

                                                           $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$

          para cualesquiera $x,y,z$ objetos de $X$.


Si podemos definir la distancia entre cualquier par de elementos de un conjunto $X$ que satisface las condiciones de arriba entonces diremos que $X$ es un espacio métrico o que le estamos dando una estructura métrica


Resulta muy curioso que aunque el problema de determinar la distancia entre dos objetos sea muy antiguo, sólo fue hasta inicios del Siglo XX que se pudo formalizar (axiomatizar) su definición. Cabe mencionar que de las tres condiciones de arriba la tercera (la llamada Desigualdad del Triángulo) es la menos obvia y natural: ¿por qué el cálculo de la distancia debe satisfacer tal propiedad?




Maurice Fréchet



Dicha relación fue reconocida como un axioma en la definición de métrica por Maurice Fréchet (1878-1973), matemático francés que hizo grandes aportaciones a la Topología. La Desigualdad del Triángulo es introducida por Fréchet en su artículo de 1904 Généralisation d'un théoreme de Weierstrass y fue desarrollada posteriormente por él mismo en su tesis de 1906 Sur quelques points du Calcul fonctionnel. A partir de su trabajo se reconoció a la Desigualdad del Triángulo como una noción central en la tarea de calcular distancias en cualquier conjunto.


Sea $X$ un conjunto cualquiera y defina la función

                                          $d(x,y)=\begin{cases}1,&x\neq y\\0,&x=y \end{cases}$

No es difícil cerciorarse de que $d(x,y)$ es una métrica en $X$. Bajo estas condiciones $X$ es llamado el espacio métrico discreto. Observemos que con este ejemplo la idea de determinar distancias puede ser una tarea sumamente abstracta pues en muchos casos la naturaleza de los objetos del conjunto no tiene un papel importante; lo relevante está en la definición de la función distancia $d(x,y)$. Otro ejemplo.

Sean $X$ conjunto finito y $A,B$ cualesquiera subconjuntos de $X$. La función

                                                        $d(A,B)=|A|+|B|-2|A\cap B|$,

es una métrica en la colección de subconjuntos de $X$. Esta distancia está muy relacionada con la operación entre conjuntos

                                                            $(A\cup B)\backslash (A\cap B)$

llamada la diferencia simétrica de $A$ y $B$. De hecho, la distancia $d(A,B)$ representa el número total de elementos distintos entre $A$ y $B$, lo que puede tomarse como una manera de determinar que tan diferentes (o separados!) están los conjuntos.


Un ejemplo más: para $f,g$ funciones continuas definidas en el intervalo $[a,b]$ una manera de determinar qué tan diferentes son (o que tan distantes son) es mediante la definición 

                                                   $d(f,g)=\int_a^b |f(x)-g(x)| dx$

Esta función no es del todo conveniente pues se pueden considerar funciones $f,g$ que difieran en una cantidad finita de puntos, en particular esto nos dice que $f\neq g$, y aún así tener que $d(f,g)=0$, lo cual iría en contra de los axiomas de un espacio métrico. Otra desventaja en esta definición es que funciones no acotadas, aproximadas por funciones acotadas, pueden arrojar distancias muy grandes, pudiendo llevar a contradicciones en la Desigualdad del Triángulo.


Este último ejemplo muestra que la noción de espacio métrico no es lo suficientemente general para ser usado en contextos donde deseamos definir límites y continuidad. Este es un de los papeles importantes de la Topología, ofrecer un terreno donde la noción de distancia sea lo suficientemente general para contener a todos los ejemplos anteriores como un caso particular.



Invitación a la Topología (parte I)

La continuidad de una función es uno de los conceptos más importantes y fascinantes de las matemáticas y, contrario a lo que todos pensamos la primera vez que vimos su definición, puede establecerse en términos muy simples: un función $f$ es continua si se puede trazar su gráfica sin levantar el lápiz de la hoja; es decir, que la gráfica de $f$ no tiene cortes o brincos; véase la figura de abajo donde se muestra la gráfica de una función que ``brinca'' en el origen



La descripción anterior es ilustrativa pero es complicado usarla en casos como el de la función

                              $f(x)=\begin{cases}x\sin (1/x),&x\neq0\\0,&x=0 \end{cases},$

cuya gráfica se muestra abajo




En términos geométricos, $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ es continua en $x_0$ siempre que puntos cercanos a $x_0$ tengan imágenes muy cercanas a $f(x_0)$. Pero, ¿qué significa estar cerca?, ¿qué distancia debe haber entre dos puntos para ser considerados cercanos? Estas consideraciones son resueltas mediante la introducción de la notación $\epsilon$-$\delta$ (épsilon-delta) de Bernand Bolzano (1781-1848) para el concepto del límite de una función: decimos que $f$ es continua en $x_0\in \mathbb{R}$ si para todo $\epsilon>0$ existe $\delta>0$ tal que

                                                                $|f(x)-f(x_0)| <\epsilon$

siempre que los puntos $x$ satisfagan

                                                                       $|x-x_0|<\delta$

Resulta pertinente hacer algunas observaciones acerca de la definición anterior: recordemos que la desigualdad $|x|<a$ es equivalente a la expresión $-a<x<a$. De aquí se sigue que las expresiones de arriba no son otra cosa más que los intervalos abiertos simétricos

                                        $f(x_0)-\epsilon<f(x_0)<f(x_0)+\epsilon,% \Rightarrow (x-\delta,x+\delta)$

                                                              $x_0-\delta<x_0<x_0+\delta$

llamados la $\epsilon$-vecindad de $f(x_0)$ y la $\delta$-vecindad de $x_0$, respectivamente. El nombre viene de la manera en que tales expresiones se representan geométricamente:




La ventaja de esta aproximación a la continuidad mediante el concepto de límite radica en que ahora es posible estudiar funciones atípicias como la función de Dirichlet dada por:
                           $f(x)=\begin{cases} 1,&x\;\mbox{racional}\\ 0,&x\;\mbox{irracional} \end{cases}$

Aún así lo que se obtiene es que $f$ es continua en los racionales y en los irracionales pero no es (para nada!) continua en todos los números reales.


Lo mencionado anteriormente, respecto a límites y continuidad, aplica también para números complejos pero es preciso extender dichos conceptos a situaciones más generales pues uno de los propósitos de la matemática es generalizar y unificar conceptos con la intención de crear verdades universales. Más aún, al notar que la continuidad es un concepto clave en el desarrollo de otras áreas del conocimiento como la física, astronomía, entre otras, se busca generalizar su definición a terrenos no Euclidianos; abajo un ejemplo:



La medición de la temperatura de una región en el planeta depende de tres variables $t_1,t_2,t_3$ (altura, longitud y altitud) pues las tres determinan por completo la localización exacta de la región. Si cada variable toma valores en la recta real $\mathbb{R}$ entonces la medición de la temperatura $t$ se representa como una función
                                       
                                          $T:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R},\;\;\; (t_1,t_2,t_3)\longmapsto t$

¿Qué significa que la función $T$ sea continua?, ¿cómo se establece dicha continuidad? Las respuestas a estas preguntas son sencillas pues la continuidad se obtiene generalizando la definición dada antes a un mayor número de variables; esto da lugar al Cálculo de múltiples variables


La Fotografía Aérea consiste en hacer un análisis de la superficie terrestre mediante la toma de fotografías captadas por dispositivos instalados en artefactos voladores como un avión o un dron. La fotografía obtenida dependerá de la posición del dispositivo en el aire, la cual es determinada por tres coordenadas espaciales.




Si denotamos por $S$ a la superficie de la tierra entonces la toma de una fotografía aérea se interpreta como una función de la forma $\mathcal{A}:\mathbb{R}^3\to S$, que asigna a cada posición del dispositivo, la región que se está fotografiando. 

En términos informales podemos decir que la función $\mathcal{A}$ de arriba es continua si al cambiar ligeramente de posición el dispositivo, las fotografías obtenidas difieren ligeramente. Pero, ¿cómo expresamos formalmente la continuidad de la función?, ¿qué significado tienen los $\epsilon,\delta$ de la definición de continuidad en este nuevo contexto donde $S$ ya no es un espacio Euclidiano?


Al igual que en la situación anterior, existe otros fenómenos (sociológicos, económicos, biológicas) que son descritos como una función en las que es preciso tener un concepto de continuidad formal, más amplio y que generalice el concepto clásico. Este es el propósito de la Topología, indagar en el concepto de continuidad para hallar sus conceptos centrales y buscar una manera de generalizarlos.



Referencias

1.- Wu, J., From Calculus to Topology. Disponible en su página.
2.- Atanasov, A., Topology and Continuity. Disponible aquí.