viernes, 24 de marzo de 2017

El espacio de Arens-Fort


Nombrado en honor a los matemáticos estadounidenses R. F. Arens y M. K. Fort, el espacio de Arens-Fort es un espacio topológico usado en Topología General principalmente como contraejemplo para ciertos resultados o para mostrar la relación que guardan algunas propiedades topológicas entre sí. En lo que sigue mostraremos un resultado relacionado con sucesiones en dicho espacio.


Definición

Como conjunto, el espacio de Arens-Fort $W$ consiste de todas las parejas ordenadas de enteros no negativos en el plano. En otras palabras, para cada $n\in \mathbb{N}$ consideremos la $n$-ésima columna de $W$ como el conjunto de parejas

                                                          $C_n=\{(n,1),(n,2),(n,3)\ldots,\}$

Hagamos $X=\cup_{n\geq 1}C_n$ y definamos $W=X\cup \{(0,0)\}$. La topología en $W$ se define como sigue: $U\subseteq W$ es abierto si $(0,0)\notin U$ ó si existe $n_0\in \mathbb{N}$ tal que $C_n\backslash U$ es finito para todo $n\geq n_0$.

Notemos que de la primera parte de la definición se tiene que cada pareja ordenada $(n,m)\in \mathbb{N}\times \mathbb{N}$ es un abierto de $W$, pues $(m,n)\neq (0,0)$. Por otro lado, la segunda condición implica que los abiertos que contienen al origen $(0,0)$ son aquellos subconjuntos de $W$ que contienen todos los puntos, salvo una cantidad finita, de cada columna, salvo una cantidad finita de ellas, aquellas de la forma $C_0,C_1,\ldots, C_{n_0-1}$ de la definición; véase la figura abajo tomada de aquí

Ejemplo de una vecindad del origen $(0,0)$



El resultado

Supongamos que existe una sucesión $\{z_i\}_{i\in \mathbb{N}}$ en $X$ que converge a $(0,0)$ en $W$. Notemos que en tal caso cualquier otra subsucesión también converge a $(0,0)$. Observemos que tenemos dos casos respecto al comportamiento de la sucesión:

= Supongamos que existe un subconjunto infinito $I\subset \mathbb{N}$ tal que los elementos de la sucesión $\{z_i\}_{i\in I}$ estén contenidos en alguna columna, digamos la $C_n$. Notemos que 

                                   $N= \{(0,0)\}\cup C_{n+1}\cup C_{n+2}\cup \cdots$

es una vecindad abierta de $(0,0)$ en $W$ que no atrapa elementos de $\{z_i\}_{i\in I}$, por lo que la subsucesión $\{z_i\}_{i\in I}$ no converge a $(0,0)$. CONTRADICCIÓN

= Si los elementos de la sucesión están contenidos en una cantidad finita de columnas, digamos $C_i,C_{i+1},\ldots, C_j$, entonces podemos tomar

                        $N=\{(0,0)\}\cup C_1\cup C_2\cup C_{i-1}\cup C_{j+1}\cup C_{j+2}\cup \cdots$

como la vecindad abierta de $(0,0)$ que no contiene elementos de la sucesión; así la sucesión no puede converger a $(0,0)$. CONTRADICCIÓN

= Finalmente, si los elementos de la sucesión están contenidos en una infinidad de columnas,podemos encontrar una subsucesión (infinita) $\{y_i\}$ que contenga a lo más un elemento en cada columna. En estas circunstancias, $N=W\backslash \{y_i\}$ es una vecindad abierta de $(0,0)$ que no contiene a $\{y_i\}$; de aquí que $N$ no contiene una infinidad de elementos de la sucesión original $\{z_i\}$ y por lo tanto no converge a $(0,0)$. CONTRADICCIÓN

Si no se le pide ninguna condición adicional a la sucesión $\{z_i\}$, el análisis anterior muestra que la sucesión no puede converger a $(0,0)$ en $W$. De hecho, las únicas sucesiones convergentes en $W$ son las eventualmente constantes.


Comentarios finales

Como se mencionó antes, el espacio de Arens-Fort es usado en Topología como contraejemplo; algunas de las propiedades de $W$ son: es numerable, Hausdorff, regular, normal, pero no es 1ro numerable, ni localmente compacto; no es conexo, ni localmente conexo; véase [2], [3] para más información sobre estos resultados.




Referencias

1.- Arens, R., Note on convergence in topology, Mathematics Magazine, 23 (1950), p. 229-234. 
2.- McCluskey, A., McMaster, B., Undergraduate Topology, Oxford University Press, 2014.
3.- Steen, L.A., Seebach, J.A., Counterexamples in Topology, Holt, Rinehart and Winston, Inc., 1970.

domingo, 19 de marzo de 2017

domingo, 5 de marzo de 2017

Desenreda

Instrucciones: Coloca los puntos morados de modo que no se superpongan las líneas.

jueves, 9 de febrero de 2017

Homotopía (parte I)

El concepto de homotopía goza de una naturaleza geométrica muy intuitiva: homotopía es una deformación continua de objetos como espacios o funciones continuas. En esta entrada daremos la definición precisa y daremos ejemplos de homotopías.



Homotopía para funciones

Decimos que dos funciones continuas $f,g:X\to Y$ son homotópicas si existe una función continua

                                                              $H:X\times I\to Y$

tal que $H(x,0)=f(x),\;H(x,1)=g(x),\forall x\in X$. La función $H$ es llamada una homotopía entre $f$ y $g$ y se usa la notación $f\simeq_{H} g$ para designar a dos funciones homotópicas o simplemente $f\simeq g$ si la homotopía se sobreentiende o no hay necesidad de enfatizarla.


Notemos que para cada $t\in I$, la homotopía $H$ determina una función continua $H_t:X\to Y$, donde $H_t(x)=H(x,t)$. De esta consideración se obtiene que la relación de homotopía $\simeq$ corresponde a la idea de una deformación continua de la función $f$ en la función $g$ a través de la familia de funciones $\{H_t(x)\}_{t\in I}$.





Es sencillo mostrar que la relación de homotopía $\simeq$ es una relación de equivalencia en el espacio $Map(X,Y)$ de funciones continuas de $X\to Y$. Así, dada $f\in Map(X,Y)$ su clase de equivalencia esta dada por


                                                             $[f]=\{g:X\to Y  |   g\simeq f\} $


y es llamada la clase de homotopía de $f$. Es importante mencionar que la homotopía permite definir propiedades estables como aquellas que permanecen dentro de la clase de homotopía de una función. Son estas propiedades las que se consideran al construir invariantes (algebraicos) dentro de la Topología Algebraica.


La palabra homotopía fué acuñada por M. Dehn (1878-1952) y P. Heegaard (1871-1948) quienes la usaron en un contexto combinatorio ([1]). E. Steinitz (1871-1928) fue de los primeros matemáticos en usar el concepto de homotopía sin embargo L.E.J. Brouwer (1881-1966) fue el primero en dar la definición moderna de homotopía de arriba ([2])


L.E.J. Brouwer


Tomemos $Y\subseteq \mathbb{R}^n$ convexo. Para cualesquiera funciones $f,g:X\to Y$ consideremos la homotopía $H:X\times [0,1]\to Y$ dada por

                                                         $H(x,t)=(1-t)f(x)+tg(x)$

Notemos que $H$ es función continua y además $H(x,0)=f(x)$ y $H(x,1)=g(x)$, por lo que define una homotopía entre $f$ y $g$; así. cualesquiera funciones continua $f,g$ en un convexo de $\mathbb{R}^n$ son homotópicas. La homotopía de arriba es  llamada homotopía de lineas. 


El ejemplo anterior es de gran importancia para estudiar las propiedades homotópicas de subconjuntos de espacios euclidianos. Es de observarse que la continuidad de la homotopía de lineas se deriva de la continuidad de las operaciones de suma y producto escalar en $\mathbb{R}^n$. Por esta razón la homotopía de lineas solo es posible definirla en un espacio vectorial donde tales operaciones sean continuas como en un espacio vectorial normado.



Homotopía para espacios

La homotopía entre funciones permite definir una nueva relación de equivalencia entre espacios topológicos: se dice que $X,Y$ tienen el mismo tipo de homotopía si existen funciones continuas $f:X\to Y,\;\;g:Y\to X$ tales que

                                                      $f\circ g\simeq 1_Y, \;\;\;g\circ f\simeq 1_X$


Usaremos la notación $X\simeq Y$ para denotar a espacios con el mismo tipo de homotopía. Bajo estas circunstancias las funciones $f,g$ son llamadas equivalencias homotópicas y también se dice que una es inversa homotópica de la otra.


Al igual que antes, la propiedad de tener el mismo tipo de homotopía es una relación de equivalencia. Dado que tener una inversa continua es una relación más fuerte que tener una inversa homotópica, cualesquiera espacios homeomorfos tienen el mismo tipo de homotopía. Es decir, la relación de ser del mismo tipo de homotopía es una noción más débil que ser homeomorfos. A continuación mostramos que el recíproco de la afimación anterior no es cierto:


Sean $X=S^1$ circunferencia unitaria en $\mathbb{R}^2$ y $Y=S^1\cup ([1,2]\times \{0\})$ como en la figura abajo.






Observemos que $X,Y$ no son homeomorfos pues si existiera homeomorfismo $f:Y\to X$ se tendría, para $m_1=(1,0)$, que $X\backslash\{f(m_1)\}$ es conexo pero claramente $Y\backslash \{m_1\}$ no lo es; por lo tanto no pueden ser homeomorfos.

Por otro lado tomemos la inclusión $i:X\to Y$ y la función $g:Y\to X$ dada por
        
                               $g(x)=\begin{cases}x,&x\in S^1\\m_1,&x\in [1,2]\times \{0\} \end{cases}$

Notemos que $g\circ i=1_X,\;i\circ g\simeq_H 1_Y$, donde la homotopía $H:Y\times I\to Y$ está dada por 

                 $H(x,t)=\begin{cases}x,&x\in S^1\\tx+(1-t)m_1,&x\in [1,2]\times \{0\}\end{cases}$


En el ejemplo anterior se ilustra el hecho de que en una homotopía es posible comprimir un espacio o una parte de él.


Referencias

1.- Dehn, M., Heegaard, P., Analysis Situs, Enzykl. der math. Wiss., III 1 AB 3, Teubner, Leipzing, 1907. 
2.- Brouwer, L.E.J., Collected Works, vol. II, North Holland Amsterdam, 1976.