miércoles, 17 de agosto de 2016

Problema: Mediatriz, bisectriz y circunferencia

En una circunferencia tracemos una cuerda cualquiera PQ. Sean M y R los puntos de intersección de la mediatriz m de la cuerda PQ con la circunferencia. Consideremos un punto A sobre el arco de circunferencia comprendido entre los puntos Q y P como se muestra en el siguiente applet de Geogebra:

Nota: Ver applet en html aquí

Probar que la recta l que pasa por los puntos A y M es bisectriz del ángulo PAQ. De manera inversa, probar que si l es una bisectriz del ángulo PAQ, entonces l debe pasar necesariamente por el punto M.

Demostración:

Primero probemos que si l es una bisectriz del ángulo PAQ, entonces l debe pasar por el punto M.

  Figura 1

Supongamos que no es así, es decir, que la bisectriz l corta en otro punto M’ diferente de M. Sin pérdida de generalidad, supongamos que el punto está como lo muestra la Figura 2.



Figura 2

Consideremos los segmentos PR y QR. Como PQ es una cuerda, tenemos que el ángulo PAQ es igual al ángulo PRQDado que m es mediatriz de PQ, en particular es bisectriz del ángulo PRQ. Esto implica que el ángulo PAM’ sea igual al ángulo PAM porque l es bisectriz de PAQ. Pero esto no puede ser porque M y M’ son puntos diferentes (Figura 2). 

Por lo tanto, la bisectriz l del ángulo PAQ debe pasar necesariamente por el punto M.

Ahora, probemos que la recta l, la cual pasa por los puntos A y M, es bisectriz del ángulo PAQ.


Consideremos los segmentos PA, QA, PR y QR, como se muestra a continuación en la Figura:
Figura 3

Es claro que la mediatriz m también es bisectris del ángulo PRQ. Por lo que los ángulos PRM y MRQ son iguales.

Consideremos los ángulos PRM y PAM. Ambos ángulos son iguales ya que están comprendidos dentro de la misma cuerda PM. Asímismo, los ángulos MAQ y MRQ son iguales porque están comprendidos en la misma cuerda MQ.  

Figura 4

De lo anterior, se puede concluir que los ángulos PAM y MAQ son iguales. Por lo tanto, la recta l que pasa por los puntos M y A, es bisectriz del ángulo PAQ.

Galileo Galilei y su ley de caída libre

Galileo Galilei estaba convencido de que en un espacio completamente libre de aire, dos cuerpos en caída libre recorrerán distancias iguales en tiempos iguales sin importar su peso. Esto contradecía las nociones aristotélicas acerca de la caída libre.

Para comprobar su hipótesis, Galileo realizó un experimento que consistía en dejar caer una esfera de plomo sobre un plano inclinado desde distintas alturas y con diferentes inclinaciones. Con base en esto, Galileo descubrió una relación entre la distancia recorrida y el tiempo en el que cae dicho objeto, esto es: La distancia recorrida por la esfera es proporcional al cuadrado de los tiempos. Es decir, si $d$ es la distancia recorrida y $t$ es el tiempo en el que se recorre dicha distancia, entonces
$$\frac{d}{t^2}=k$$
donde $k$ es la constante de proporcionalidad, la cual depende de la inclinación del plano. Esta relación se cumple también para objetos en caída libre.
Actualmente, la anterior expresión equivale a la relación para objetos en caída libre y en este caso $k=\frac{1}{2}g$:
$$d=\frac{1}{2}gt^2$$
donde $g$ es la aceleración originada por la gravedad.

Consideremos un plano inclinado de altura $h$ y ancho $L$. Desde lo alto, se deja caer una esfera sobre el plano. Para medir el tiempo, Galileo utilizó un contenedor en el cual se dejaba caer un flujo de agua continuo. Cuando la esfera llegaba al final de la diagonal, el contenedor tenía una cierta cantidad de agua. Si la inclinación cambiaba, la cantidad de agua cambiaba de manera inversamente proporcional, es decir, a mayor inclinación la cantidad de agua será menor y viceversa. Esto se puede apreciar en la siguiente hoja de trabajo de GeoGebra:


Las ideas de Galileo revolucionaron por completo el estudio del movimiento, en particular por introducir el concepto de 'Aceleración' como un cambio de velocidad en intervalos de tiempo iguales. Galileo observó que en los objetos en caída libre su velocidad cambia en intervalos de tiempo iguales y por lo tanto tenían una aceleración (en este caso, uniforme). Aunque no fue él quien calculó la famosa constante de aceleración originada por la gravedad de la Tierra $g=9.8 m/s^2$, fue el primero en observar y demostrar matemáticamente que dicha constante existía. Es quizá por esto que en su libro Il Saggiatore menciona lo siguiente:

La filosofía está escrita en ese vasto libro que está siempre abierto ante nuestros ojos: me refiero al universo [...]. Está escrito en lenguaje matemático, y las letras son triángulos, círculos y otras figuras geométricas, sin las cuales es humanamente imposible entender una sola palabra.    

Para más información:

1. El experimento y la demostración se pueden consultar en el último libro de Galileo: Discorsi e dimostrazioni matematiche, intorno a due nuove scienze attenenti alla meccanica & i movimenti locali (Diálogos sobre dos nuevas ciencias).

2. El siguiente sitio: Galileo Galilei's Notes on Motion, contiene información de las obras de Galileo así como manuscritos los cuales han sido digitalizados por la Biblioteca Nazionale di Firenze. Entre los distintos Folios, se encuentran datos de los experimentos que Galileo realizó. En particular el Folio 107v contiene datos del experimento del plano inclinado: 

3. Los siguientes sitios contienen más información acerca del experimento del plano inclinado

http://www.juliantrubin.com/bigten/galileofallingbodies.html

Obras de Galileo:

1586 — La bilancetta (publicada póstumamente)
1590 — De motu
1606 — Le operazioni del compasso geometrico et militare
1600 — Le meccaniche
1610 — Sidereus nuncius (El mensajero sideral)
1615 — Carta a la Gran Duquesa Cristina (publicada en 1636)
1616 — Discorso del flusso e reflusso del mare
1619 — Discorso delle comete (publicado por Mario Guiducci)
1623 — Il saggiatore
1632 — Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo tolemaico e copernicano (Diálogo sobre los                    principales sistemas del mundo)
1638 — Discorsi e dimostrazioni matematiche, intorno a due nuove scienze attenenti alla meccanica & i movimenti locali (Diálogos sobre dos nuevas ciencias).



La suma de todos los números naturales es -1/12

Qué resultado se obtiene si realizamos la suma de todos los números naturales
$$1+2+3+4+5+\cdots$$
Por supuesto, nuestra respuesta sería que el valor de la suma es infinito, lo cual concuerda  con nuestra experiencia y con las reglas matemáticas que hemos aprendido en la escuela. Entonces podemos afirmar que: La suma de todos los números naturales es infinita.  Esto lo podemos escribir de la siguiente forma
$$1+2+3+4+5+\cdots =\infty$$
Pero qué pensarías si, utilizando un método matemático, podemos obtener la siguiente expresión
$$1+2+3+4+5+\cdots =-\frac{1}{12}$$
Suena un tanto ilógico... bueno, si te interesa saber cómo se puede llegar a este resultado, te invito a leer el documento Curiosidades del Infinito (muestra abajo). Es mi primer intento de recopilación de ejemplos matemáticos que muestran ciertas anomalías cuando se involucra el concepto del infinito. Lo estaré actualizando cuando tenga tiempo con más referencias y por supuesto, con más ejemplos paradójicos. Mucha razón tenía Borges al mencionar que: Hay un concepto que es el corruptor y el desatinador de los otros. No  hablo del Mal cuyo limitado imperio es la ética; hablo del infinito.

Árbol fractal, (Facultad de Ciencias de la Educación, Universidad de Colima) 
Foto by JCPC©

Ilusión de movimiento: Proyección ortográfica


Es posible realizar proyecciones del espacio tridimensional sobre el plano de dos dimensiones, las cuales se denominan Proyecciones ortográficas.

Las proyecciones ortogonales son muy útiles para describir el movimiento de objetos que se mueven en el espacio por medio de una proyección al plano. También se utilizan para realizar animaciones de objetos en tercera dimensión. Aunque en realidad, lo que se crea es una ilusión de movimiento tridimensional.

Las transformaciones de las coordenadas de un punto (o puntos) del espacio se realizan mediante un cambio de origen (o transformación lineal), cambio de escala, y giros respecto a los ejes (de la misma forma se pueden hacer transformaciones en el plano).


Es posible mover los planos $XY$, $YZ$ y $XZ$ con respecto a tres ángulos diferentes $\alpha$, $\beta$,  y $\gamma$, respectivamente. Para ello se pueden utilizar las siguientes matrices:
$$A=\left(\begin{array}{ccc}
  1 & 0 & 0\\
  0 & \cos  \alpha & -\sin \alpha \\
  0 & \sin \alpha   & \cos  \alpha
  \end{array}\right)\;\;\;\;\;
B=\left(\begin{array}{ccc}
  \cos  \beta & 0 & \sin \beta \\
  0 & 1 & 0 \\
 -\sin \beta  & 0  & \cos \beta
  \end{array}\right)\\
C=\left(\begin{array}{ccc}
  \cos  \gamma  & -\sin \gamma  & 0\\
 \sin \gamma  & \cos  \gamma & 0 \\
  0 & 0  & 1
  \end{array}\right)$$
Para mover un punto en el espacio $(x,y,z)$, primero se debe realizar la multiplicación de las matrices
$$M=A\cdot B\cdot C$$

Después, para obtener el nuevo punto $(x',y',z')$, se multiplica la matriz $M$ por $(x,y,z)$. Esto es
$$(x',y',z')=M\cdot(x,y,z)$$

La matriz $M$ tiene las siguientes entradas:
$$\left(\begin{array}{ccc}
  \cos \beta \cos \gamma  & -\cos \beta \sin \gamma  & \sin \beta \\
  \cos \alpha  \sin \gamma +\sin \alpha \sin \beta \cos \gamma & \cos \alpha \cos \gamma-\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma & -\sin \alpha  \cos \beta \\
 \sin \alpha  \sin \gamma -\cos \alpha  \sin \alpha  \cos \gamma  & \cos \alpha  \sin \beta  \sin \gamma +\sin \alpha  \cos \gamma  & \cos \alpha  \cos \beta
  \end{array}\right)\;\;
 $$
Si se desea mover un punto en el espacio $(x,y,z)$ con respecto a un solo ángulo, entonces se debe considerar  $\alpha=\beta=\gamma$.

Los siguientes applets, muestran las transformaciones de una base ortonormal y de un punto $(x,y,z)$ en el espacio tridimensional.
Applet: Mover los puntos de las elipses. También se puede mover el punto de intersección de los tres vectores. Ver como applet html: Applet Geogebra

Applet: Se puede interactuar con los ángulos, la escala y los valores que determinan las coordenadas del punto P(x,y,z). También se puede cambiar la posición del origen. Ver como applet html: Applet Geogebra.

Applet: Este es un ejemplo donde se puede utilizar las proyecciones ortográficas Applet GeoGebra