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Mostrando las entradas de 2014

Perspectiva histórica acerca del origen y evolución del concepto de derivada

El concepto de variedad diferenciable (parte II)

(Esta entrada es la continuación del tema sobre la noción de variedad diferenciable)


Recordemos que una variedad diferenciable es el objeto obtenido al añadir dos estructuras a un conjunto, una topológica y una diferencial, con ciertas condiciones técnicas que comentaremos a continuación.

Decimos que un espacio topológico $M$ es una $n$-variedad topológica si es un espacio Hausdorff, segundo numerable y localmente Euclidiano de dimensión $n$. Es decir, para cada punto $x\in M$ existe una vecindad $U$ y un homeomorfismo $\varphi: U\rightarrow O$, con $O$ abierto de $\mathbb{R}^n$. Una pareja $(U,\varphi)$ es llamada una carta coordenada para $M$ si $U$ es un subespacio abierto de $M$ y $\varphi$ es un homeomorfismo de $U$ a un abierto de $\mathbb{R}^n$.
Primero recordemos que un espacio Hausdorff $M$ es aquel en el que para cada par de puntos distintos $x,y\in M$ existen subconjuntos abiertos ajenos $U,V$ tales que $p\in U$ y $q\in V$. La condición de ser Hausdorff suele imponerse en much…

Fenaquistiscopio: Ilusión de movimiento

El fenaquistiscopio, (palabra original del griego que significa: 'ilusorio') fue un juguete inventado por Joseph-Antoine Ferdinand Plateau para demostrar su teoría de la persistencia de la visión.

El siguiente applet, hecho en GeoGebra, es un ejemplo de dicho juguete.

¿Cómo funciona?

1. Modifica la revolución (giros) de la imagen hasta que observes una imagen continua o que tenga sentido para ti.
2. Cambia los discos.



Para ver más applets de GeoGebra del mismo autor: Les Mathématiques du Lièvre


Diagramas topológicos de William P. Thurston

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William P. Thurston fue un matemático estadounidense pionero en el campo de la topología de variedades 3-dimensional, razón por la cual recibió la Medalla Fields en 1982. 
Mientras trabajaba en la Universidad de Princeton escribió una serie de notas que se convertirían en referencia esencial para cualquier persona interesada en el estudio de la geometría y la topología de las variedades 3-dimensionales. 
El título de la obra es: La geometría y la topología de variedades 3-dimensionales(The geometry and topology of three-dimensional manifolds).
Actualmente existe una versión en inglés escrita en Latex que puede consultarse en el siguiente sitio: Notas de Thurston
En el capítulo 6, sección 6.7, página 140, se puede encontrar el siguiente:
Ejemplo: 
Si $W$ es el vínculo Whitehead y $B$ es el anillo Borromean, entonces $S^3-W$ tiene una cubierta de cuatro hojas homeomórfica con una cubierta de dos hojas de $S^3-B$:

(Esta imagen forma parte del fondo del presente blog).
El homeomorfismo inv…

El concepto de variedad diferenciable (parte I)

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En términos generales una variedad diferenciable (léase, suave)  es la generalización, a dimensiones mayores, del concepto de curva y superficie. En ese sentido una variedad diferenciable es un objeto donde pueden llevarse a cabo operaciones propias del calculo diferencial. La presente nota aborda este proceso de generalización.

La teoría de superficies, surgida en el siglo XIX, es el estudio de las propiedades geométricas de superficies mediante el uso de herramientas del cálculo diferencial. El método de trabajo de esta teoría, que consideraba no sólo propiedades analíticas sino también las diferenciables, representó un enfoque sumamente útil lo que le permitió ser introducido en varias áreas de la matemática moderna. En reconocimiento a este enfoque la teoría de superficies fue renombrada como geometría diferencial en el siglo XX, ampliando con esto los objetos de estudio a espacios de dimensiones mas grandes ($\geq 2$). Esta nueva etapa en la geometría hizo evidente la necesidad de…

Funciones Encontradas

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Si se quisiera probar que las matemáticas se encuentran en todos lados se podría realizar el siguiente ejercicio: salir, con cámara en mano, a buscar una buena composición, tomar la fotografía y regresar a casa a tratar de representar el paisaje retratado desde un punto de vista matemático.


El resultado puede ser de lo más variado y la eficacia del mismo dependerá, como siempre, de la mirada del ejecutante así como de su conocimiento en matemáticas.






El trabajo ''Found Functions'' de Nikki Graziano es un ejercicio similar al arriba mencionado pero con la diferencia de que, en palabras de su autora, la intención en este caso fue crear algo que permitiera transmitir lo impresionante que son las matemáticas. El resultado: fotografías atractivas, interesantes tanto de un punto de vista estético como matemático. Aquí la representación matemática usada consiste en sobreponer la gráfica de ciertas funciones trigonométricas para aproximar los paisajes encontrados.









Las fotografías …