Diagramas topológicos de William P. Thurston

William P. Thurston fue un matemático estadounidense pionero en el campo de la topología de variedades 3-dimensional, razón por la cual recibió la Medalla Fields en 1982. 

Mientras trabajaba en la Universidad de Princeton escribió una serie de notas que se convertirían en referencia esencial para cualquier persona interesada en el estudio de la geometría y la topología de las variedades 3-dimensionales. 

El título de la obra es: La geometría y la topología de variedades 3-dimensionales (The geometry and topology of three-dimensional manifolds).

Actualmente existe una versión en inglés escrita en Latex que puede consultarse en el siguiente sitio: Notas de Thurston

En el capítulo 6, sección 6.7, página 140, se puede encontrar el siguiente:

Ejemplo: 
Si $W$ es el vínculo Whitehead y $B$ es el anillo Borromean, entonces $S^3-W$ tiene una cubierta de cuatro hojas homeomórfica con una cubierta de dos hojas de $S^3-B$:


(Esta imagen forma parte del fondo del presente blog).

El homeomorfismo involucra un corte de un disco, girarlo 360 grados y pegarlo de vuelta. De esta manera $S^3-W$ y $S^3-B$ son conmensurables. Es fácil ver que $\pi_1(S^3-W)$ y $\pi_1(S^3-B)$ son conmensurables como grupos discretos de PSL$(2,\mathbb C)$ considerando el mosaico de $H^3$ como un octaedro regular ideal. Ambos grupos preservan este mosaico, así que ambos están contenidos en el grupo completo de simetrías del mosaico octaédrico, con índice finito. Por lo cual, se intersectan entre sí con índice finito.

$\pi_1(S^3-B)\subset $ Simetrías (mosaico octaédrico) $\supset \pi_1(S^3-W)$
$ \pi_1(S^3-B)\supset  \pi_1(S^3-B)\cap  \pi_1(S^3-W)\subset  \pi_1(S^3-W)$

En la próxima entrada hablaré del otro diagrama que compone el fondo de este blog.

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