Una historia de la Teoría de Conjuntos


La historia de la teoría de conjuntos es bastante diferente comparada con la historia de la mayoría de las otras áreas de las matemáticas. Para la mayoría de las áreas por lo general se puede rastrear un largo proceso en el que las ideas evolucionan hasta alcanzar un resplandor final de inspiración, a menudo por un número de matemáticos casi simultáneamente, produciendo un descubrimiento de gran importancia.

La teoría de conjuntos sin embargo, es bastante diferente. Su creación se debe a una sola persona, Georg Cantor. Antes de adentrarnos en la historia principal del desarrollo de la teoría de Cantor, primero examinamos algunas contribuciones preliminares.

Georg Cantor
La idea de infinito había sido objeto de una profunda reflexión desde la época de los griegos. Zenón de Elea, alrededor de 450 aC, con sus problemas en el infinito, hizo una importante contribución. En la Edad Media, la discusión del infinito había dado lugar a la comparación de conjuntos infinitos. Por ejemplo Alberto de Sajonia, en Questiones subtilissime in libros de celo et mundi, demuestra que un haz de longitud infinita tiene el mismo volumen que el 3-espacio. Él demuestra esto cortando el haz en trozos imaginarios que luego se ensamblan en capas concéntricas sucesivas que llenan el espacio.

Bolzano fue un filósofo y matemático de pensamiento profundo. En 1847 él consideró a los conjuntos con la siguiente definición:

una realización de la idea o concepto que concebimos cuando consideramos la disposición de sus partes como una cuestión de indiferencia.

Bolzano defendió el concepto de conjunto infinito. En esa época muchos creían que no podían existir los conjuntos infinitos. Bolzano dio ejemplos para demostrar que, a diferencia de los conjuntos finitos, los elementos de un conjunto infinito podrían ponerse en correspondencia uno a uno con elementos de uno de sus subconjuntos propios. Esta idea eventualmente llegó a usarse en la definición de un conjunto finito.

Fue con el trabajo de Cantor no obstante, que la teoría de conjuntos se estableció sobre una base matemática adecuada. Los primeros trabajos de Cantor fueron en teoría de números y publicó una serie de artículos sobre este tema entre 1867 y 1871. Estos, aunque de gran calidad, no dan indicios de haber sido escritos por un hombre que estaba a punto de cambiar el curso de las matemáticas.

Un acontecimiento de gran importancia ocurrió en 1872 cuando Cantor hizo un viaje a Suiza. Cantor conoció a Richard Dedekind y comenzó una amistad la cual creció con el paso de los años. Se conservan numerosas cartas escritas entre los dos matemáticos en los años 1873-1879 y aunque éstos discuten relativamente poco de matemáticas es evidente que la forma de pensar de Dedekind, de manera profunda, lógica y abstracta, fue de gran influencia en Cantor para el desarrollo sus ideas.

Cantor cambió la teoría de números para escribir artículos acerca de series trigonométricas. Estos documentos contienen ideas preliminares sobre la teoría de conjuntos de Cantor y también resultados importantes sobre los números irracionales. Dedekind estaba trabajando de forma independiente en los números irracionales y publicó su libro Continuidad y números irracionales.

En 1874 Cantor publicó un artículo en el Crelle's Journal (Journal für die reine und angewandte Mathematik) el cual marca el nacimiento de la teoría de conjuntos. Un segundo artículo fue presentado por Cantor en el Crelle's Journal en 1878, pero la teoría de conjuntos ya se estaba convirtiendo en centro de la controversia. Kronecker, quien estaba en la redacción de Crelle's Journal, no estaba contento con las nuevas ideas revolucionarias contenidas en el documento de Cantor. Cantor fue tentado a retirar el artículo, pero Dedekind persuadió a Cantor de no retirar su artículo y Weierstrass apoyó publicación. El artículo fue publicado pero Cantor nunca presentó ningún trabajo adicional para el Crelle's Journal.

En su artículo de 1874 Cantor considera al menos dos tipos diferentes de infinito. Anteriormente no existían estos órdenes de infinito, todas las colecciones infinitas eran consideradas 'del mismo tamaño'. Sin embargo Cantor examina el conjunto de números reales algebraicos, que se puede considerar como el conjunto de todas las raíces reales de ecuaciones de la forma
\[a_ nx^n + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} +\cdots + a_1 x + a_0 = 0,\]
donde $a_i$ es un número entero. Cantor demuestra que los números reales algebraicos están en correspondencia uno a uno con los números naturales de la siguiente manera.

Para una ecuación de la forma anterior definamos su índice como 
$$| a_n | + | a_{n-1} | + | a_{n-2} | + \cdots + | a_1 | + | a_0 | + n.$$
Sólo hay una ecuación de índice 2, es decir, $x = 0.$ Hay 3 ecuaciones de índice 3, a saber,
$$2x = 0, \;x + 1 = 0, \;x - 1 = 0 \;\text{y} \;x^2 = 0.$$
Estos dan raíces 0, 1, -1. Para cada índice sólo hay un número finito de ecuaciones y tan sólo un número finito de raíces. Realizar una correspondencia uno a uno con los números naturales es ahora sencillo, pero ordenándolos por orden de índice y magnitud creciente dentro de cada índice.

En el mismo artículo Cantor muestra que los números reales no se pueden poner en correspondencia uno a uno con los números naturales utilizando un argumento con intervalos anidados, el cual es un argumento más complejo comparado con el que se usa en la actualidad (que es de hecho debido a Cantor publicado en un artículo posterior de 1891). Cantor enfatiza entonces que esto demuestra un teorema establecido por Liouville, a saber, que hay infinitos números trascendentes (es decir, no algebraicos) en cada intervalo.

En su siguiente artículo, en el que Cantor tenía problemas de publicación en el Crelle's Journal, Cantor introduce la idea de la equivalencia de conjuntos y menciona que dos conjuntos son equivalentes o que tienen la misma potencia, si se pueden poner en correspondencia uno a uno. Cantor tomó la palabra 'potencia' de Steiner. Él demuestra que los números racionales poseen la más pequeña potencia infinita y también demuestra que $\mathbb R^n$ tiene la misma potencia que $\mathbb R$. Cantor demuestra además que una cantidad numerable de copias de $\mathbb R$ aún tiene la misma potencia que $\mathbb R$. En esta etapa Cantor no utiliza la palabra 'contable', la introdujo después en un artículo de 1883.

Cantor publicó un tratado de seis partes sobre la teoría de conjuntos de los años 1879 a 1884. Este trabajo apareció en la revista Mathematische Annalen y fue un acto de valentía por parte del editor de la publicación de la obra a pesar de la creciente oposición a las ideas de Cantor. La principal figura de la oposición era Kronecker quien era una figura muy influyente en ese momento en el mundo de las matemáticas.

La crítica de Kronecker se basaba en el hecho de que él sólo creía en las matemáticas constructivas. Él sólo aceptó objetos matemáticos que podrían construirse de forma finita del conjunto intuitivamente dado de números naturales. Cuando Lindemann demostró que $\pi$ es trascendental en 1882 dijo Kronecker:

¿De qué sirve tu hermosa investigación de $\pi$? ¿Por qué estudiar este tipo de problemas cuando no existen los números irracionales?

Ciertamente el arreglo de Cantor de diferentes infinitos era imposible bajo esta forma de pensamiento.

Cantor sin embargo continuó con su trabajo. Su quinto trabajo en la parte seis de su tratado fue publicado en 1883 y discute conjuntos bien ordenados. Los números ordinales se introducen como los tipos de órdenes de conjuntos bien ordenados. La multiplicación y la adición de números transfinitos también se definen en este trabajo; sin embargo, Cantor daría una amplia exposición de la aritmética transfinita en obra posterior. Cantor se toma gran parte de este artículo justificando su trabajo. Afirmó, por ejemplo, que la matemática es bastante libre y cualquier concepto se puede introducir con sujeción únicamente con la condición de que estén libres de contradicciones y que además se definan estos conceptos en términos de otros conceptos previamente aceptados. También cita muchos autores anteriores que habían dado opiniones sobre el concepto de infinito, incluyendo Aristóteles, Descartes, Berkeley, Leibniz y Bolzano.

El año 1884 fue de gran crisis para Cantor. Él no estaba contento con su trabajo en Halle y le hubiera gustado ir a Berlín. Sin embargo, esta medida fue bloqueada por Schwarz y Kronecker. En 1884 Cantor escribió 52 cartas a Mittag-Leffler, en cada una ellas con declaraciones en contra de Kronecker. En este año de crisis mentales Cantor pareció perder la confianza en su propio trabajo y se concentró en el estudio de la filosofía, más que en las matemáticas. La crisis no duró demasiado tiempo y para principios de 1885 Cantor se recuperó y su fe, en su propia obra, había regresado. Sin embargo, a pesar de haber publicado una gran cantidad de trabajos importantes en los años posteriores a 1884, su genialidad quedó marcada en sus notables artículos publicados durante el período de 1874 hasta 1884.

Aunque no es de gran importancia en el desarrollo de la teoría de conjuntos cabe destacar que Peano introdujo en 1889 el símbolo $\in$ que significa 'es un elemento de'. Su origen se deriva de la primera letra de la palabra griega ἐστί, la cual significa 'es'.

En 1885 Cantor continuó extendiendo su teoría de los números cardinales y de tipos de órdenes. Extendió su teoría de tipos de órdenes para que sus números ordinales definidos previamente se convirtieran en un caso especial. En 1895 y 1897 Cantor publicó su doble tratado final sobre la teoría de conjuntos, el cual contiene una introducción que bien parece un libro moderno de la teoría de conjuntos y define el concepto de conjunto, subconjunto, etc. Cantor demuestra que si $A$ y $B$ son conjuntos con $A$ equivalente a un subconjunto de $B$ y $B$ equivalente a un subconjunto de $A$, entonces $A$ y $B$ son equivalentes. Este teorema también fue probado por Felix Bernstein y, también, de forma independiente por E. Schröder.

Las fechas de 1895 y 1897 son importantes para la teoría de conjuntos en dos sentidos. En 1897 la primera paradoja en teoría de conjuntos apareció y fue publicado por Cesare Burali-Forti. Algunos de los efectos de esta paradoja se perdieron ya que Burali-Forti consideró la definición de un conjunto bien ordenado de forma errónea. Sin embargo, incluso cuando la definición se corrigió, la paradoja se mantuvo. Básicamente esta paradoja gira alrededor del conjunto de todos los números ordinales. El número ordinal del conjunto de todos los ordinales debe ser un ordinal y esto lleva a una contradicción. Se cree que el mismo Cantor descubrió esta paradoja en 1885 y escribió a Hilbert al respecto en 1886, lo cual resulta inesperado pues Cantor fue muy crítico con el artículo de Burali-Forti cuando se publicó. El año 1897 fue también de gran importancia para Cantor, ya que en ese año se celebró el primer Congreso Internacional de Matemáticos en Zurich y en este se reconoció el trabajo de Cantor, considerado de gran calidad y además fue elogiado por muchos otros matemáticos incluyendo Hurwitz y Hadamard.

En 1899 Cantor descubrió otra paradoja que surge del conjunto de todos los conjuntos. ¿Cuál es el número cardinal del conjunto de todos los conjuntos? Es evidente que debe ser el mayor cardinal posible pero el cardinal del conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto siempre tiene un cardinal mayor que el propio conjunto. De esta manera, parecía que la crítica de Kronecker podría haber sido correcta, ya que la extensión del concepto de conjunto más allá de lo finito parecía producir paradojas. La 'última' paradoja fue encontrada por Russell en 1902 (también descubierta por Zermelo de forma independiente). Definamos un conjunto
\[A = \left\{X\; |\;\;X\;\; \text{no es un miembro de}\;\; X\right\}.\]
Russell entonces se preguntó: ¿Es $A$ un elemento de $A$? Tanto el supuesto de que $A$ es un miembro de $A$ y que $A$ no es un miembro de $A$ conllevan a una contradicción. La propia construcción del conjunto parece dar una paradoja.

Russell escribió a Frege acerca de esta paradoja, quien estaba por terminar su principal tratado sobre los fundamentos de la aritmética. Frege añadió un análisis de esta paradoja a su tratado.

Un científico difícilmente puede encontrarse con algo más indeseable que ver sucumbir los cimientos de su teoría justo cuando su trabajo está terminado. En esta posición estuve debido a una carta del Sr. Bertrand Russell cuando mi trabajo estaba casi por publicarse.

En esta etapa, sin embargo, la teoría de conjuntos estaba empezando a tener un impacto importante en otras áreas de las matemáticas. Lebesgue definió 'medida' en 1901 y en 1902 definió la integral desde otro punto de vista (actualmente conocida como integral de Lebesgue) usando conceptos de la teoría de conjuntos. El Análisis necesitaba la teoría de conjuntos de Cantor, el cual no podía permitirse el lujo de limitarse a las matemáticas intuicionistas en el espíritu de Kronecker. En lugar de descartar la teoría de conjuntos, debido a las paradojas, se buscaron maneras de mantener las características principales de la teoría de conjuntos para eliminar las paradojas.

¿Las paradojas provienen del Axioma de Elección? Cantor había utilizado el Axioma de Elección sin considerar que era necesario darle un tratamiento especial. La primera persona que utilizó de manera explícita este axioma parece haber sido Peano en 1890 al realizar una demostración de la existencia de soluciones de un sistema de ecuaciones diferenciales. De nuevo en 1902 fue mencionado por Beppo Levi, pero el primero en introducir formalmente el axioma fue Zermelo cuando demostró, en 1904, que cada conjunto puede ser bien ordenado. Cantor había conjeturado este teorema. Émile Borel señaló que el axioma de elección es de hecho equivalente al teorema de Zermelo.

Gödel demostró, en 1940, que el axioma de elección no se puede demostrar con los otros axiomas de la teoría de conjuntos. No fue sino hasta 1963 que Paul Cohen demostró que el Axioma de Elección es independiente de los otros axiomas de la teoría de conjuntos.

La paradoja de Russell hizo sucumbir la estructura las matemáticas, en palabras de Frege. Russell, tratando de reparar el daño, hizo un intento de establecer las matemáticas sobre una base lógica en su principal obra Principia Mathematica, escrita con Whitehead. Este trabajo trata de reducir los fundamentos de las matemáticas a la lógica y fue un trabajo muy influyente. Sin embargo, el método para evitar las paradojas mediante la introducción de una 'teoría de tipos' hizo imposible decir que una clase es o no miembro de sí misma. No parecía una forma muy satisfactoria para resolver los problemas y otros matemáticos buscaron diferentes maneras.

Zermelo en 1908 fue el primero en intentar una axiomatización de la teoría de conjuntos. Muchos otros matemáticos intentaron axiomatizar teoría de conjuntos. Fraenkel, von Neumann, Bernays y Gödel son todas las figuras importantes en este desarrollo. Gödel demostró que existen limitaciones en cualquier teoría axiomática y por lo tanto los intentos realizados por muchos matemáticos como Frege y Hilbert nunca podrían alcanzarse.


Artículo original en inglés: A history of set theory por J. J. O'Connor & E. F. Robertson

Traducido del sitio: The MacTutor History of Mathematics 
por Juan Carlos Ponce Campuzano


Referencias

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