El Problema de Nielsen (parte I)

Sea $X$ espacio topológico y $p\in X$ un punto distinguido. Definimos el grupo fundamental $\pi_1(X,p)$ como el conjunto de clases de homotopía de lazos basados en $p$ bajo la operación $[\alpha]*[\beta]=[\alpha*\beta]$, donde $\alpha*\beta$ es la concatenación de lazos y con el elemento identidad dado por la clase del lazo constante. La asociación $X\mapsto \pi_1(X,p)$ tiene un comportamiento funtorial: dado $Y$ espacio topológico y una función continua $f:X\to Y$ tal que $f(p)=q$ existe un homomorfismo $f_*:\pi_1(X,p)\to \pi_1(Y,q)$, de donde se obtiene que para todo espacio $Y$ homeomorfo a $X$ se tiene $\pi_1 (Y,q)\cong \pi_1(X,p)$. En el siguiente texto analizaremos de qué manera el punto base en $\pi_1(X,p)$ da origen a preguntas interesantes dentro de la teoría de grupos modulares (mapping class groups).


Sean $S_g$ la superficie orientable de género $g$, $Top\:(S_g)$ el grupo de homeomorfismos de $S_g$ y $\Gamma(S_g)=Top\:(S_g)/\simeq $ su grupo modular (extendido). Observemos que $h\in Top\:(S_g)$ no siempre induce un isomorfismo de $\pi_1(S_g,p)$ debido a que el punto base $p$ no necesariamente se preserva. Aún así, se tiene un isomorfismo

$ h_*:\pi_1(S_g,p)\longrightarrow \pi_1(S_g,h(p))$

Por otro lado, dado un camino $\gamma$ de $h(p)$ a $p$ se tiene el isomorfismo

$\gamma_*:\pi_1(S_g,h(p))\longrightarrow \pi_1(S_g,p)$

que es un automorfismo interno de $\pi_1(S_g,p)$ si y sólo si $\gamma$ es un lazo basado en $p$. Más aún, dados $\phi,\varphi$ caminos de $h(p)$ a $p$ los homomorfismos inducidos $\phi_*,\varphi_*$ difieren por un homomorfismo interno de $\pi_1(S_g,p)$. Así, consideramos el cociente

$Out\: \pi_1(S_g,p)=Aut\:\pi_1(S_g,p)/Inn\:\pi_1(S_g,p)$

llamado el grupo de automorfismos exteriores de $\pi_1(S_g,p)$. 


J. Nielsen

Jakob Nielsen (1890-1959) se preguntó acerca del inverso para la función $\eta:Top\:(S_g)\to Out\:\pi_1(S_g,p)$ construida arriba: ¿será que todo elemento de $Out\:\pi_1(S_g,p)$ está inducido por un elemento particular de $Top\:(S_g)$? Mas aún, ¿qué subgrupos de $Out\:\pi_1(S_g,p)$ pueden ser representados por subgrupos de $Top\:(S_g)$? Éste es el llamado Problema de Realización de Nielsen.


La versión más conocida del problema anterior se obtiene al notar que el homomorfismo $\eta$ factoriza a través de $\Gamma(S_g)$, por lo que se obtiene

$\overline{\eta}:\Gamma(S_g)\longrightarrow Out\pi_1(S_g,p)$



M. Dehn



Es un resultado de M. Dehn que $\overline{\eta}$ es un isomorfimo para $g\geq 1$ pero fué J. Nielsen el primero en publicar una demostración (en 1927). Por otro lado, R. Baer fué el primero en probar la inyectividad (en 1928) de $\overline{\eta}$. Así, el problema de Nielsen se plantea en otros términos: 

¿qué subgrupos (finitos) de $\Gamma(S_g)$ admiten una representación en $Top\:(S_g)$?

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