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Mostrando las entradas de 2016

Compactificación de Alexandroff

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Como es sabido, el espacio euclidiano $\mathbb{R}^n$ no es compacto a pesar de contener muchos compactos (de hecho tiene tantos que es localmente compacto). En esta breve entrada veremos que a $\mathbb{R}^n$ no le hace falta mucho para ser compacto, basta añadirle un punto ajeno a él.
Sean $(X,\tau)$ espacio Hausdorff, localmente compacto, no compacto y $\infty$ un elemento que no pertenezca a $X$. Consideremos $\tilde{X}=X\sqcup \{\infty\}$ y definimos la colección                 $\tau'=\{A | A\in \tau\}\cup\{(X\backslash K) \cup \{\infty\} |  K\subset X\;\mbox{compacto} \}$
La familia $\tau'$ es una topología y el espacio topológico $(\tilde{X},\tau')$ es llamado la compactificación (unipuntual)de $X$; el espacio $\tilde{X}$ está determinado de manera única salvo homeomorfismo. Las principales propiedades de $\tilde{X}$, y la justificación del nombre, están dadas en el siguiente resultado demostrado por P.S. Alexandroff en [1]:
Teorema (de Alexandroff). El espacio $(\tild…

El reto de los cuatro colores

Colorea este mapa, de modo que no haya dos regiones adyacentes que sean del mismo color. Sólo puedes utilizar cuatro colores: azul, verde, rojo y morado.

Para colorear, haz clic en una región. Para cambiar de color, vuele hacer clic en la misma región.


Enlace: https://ggbm.at/VVPNYuBN

Si quieres ver una posible soluciónHaz clic aquí. ¿Puedes encontrar otra solución? Hay muchas...

Dos ejercicios de Topología General

1.- Sean $X$ espacio topológico y $A,B\subset X$ tales que $X=A\cup B$. Prueba que para $M\subset A\cap B$ que es abierto de $A$ y abierto de $B$ se tiene que $M$ es abierto de $X$.

Solución. Por ser abierto relativo, existen $U,V$ abiertos de $X$ tales que $M=A\cap U,\;\;M=B\cap V$. Notemos que

                         $A\cap U\cap V=M\cap V=B\cap V\cap V =B\cap V=M$
                         $B\cap V\cap U=M\cap U=A\cap U\cap U =A\cap U=M$

De las relaciones anteriores se sigue que
                                    $M=M\cup M=(A\cap U\cap V)\cup (B\cap U\cap V)$
                                                          $=(A\cup B)\cap (U\cap V)$
                                                          $=X\cap (U\cap V)$
                                                          $=U\cap V$.
Así, $M=U\cap V$, cual es abierto de $X$. $\bullet$


2.- Sean $X$ espacio topológico y $U,V\subset X$ abiertos y densos. Prueba que $U\cap V$ es denso en $X$.

Solución. Tomemos $W\subset X$ abierto. …

Nudos en el Toro

En la teoría de nudos, un nudo de toro es un tipo especial de nudo que se encuentra en la superficie de un toro en $\mathbb R^3$. Cada nudo de toro se especifica por un par de números enteros coprimos $p$ y $q$. Un enlace de toro surge si $p$ y $q$ no son coprimos (en cuyo caso el número de componentes es gcd$(p, q)$). Un nudo de toro es trivial si y sólo si $p$ o $q$ es igual a $1$ o $-1$. El ejemplo más simple no trivial es el nudo $(2,3)$-torus, también conocido como nudo de trébol.
El nudo $(p, q)$-torus puede ser dado por la parametrización:
$x=r\cos(p\,\phi )$ $y=r\sin(p\,\phi )$ $z=-\sin(q\,\phi )$ donde $r=\cos(q\,\phi)+2$ y $0<\phi<2\pi$. Esto se encuentra en la superficie del toro dada por $(r-2)^{2} + z^{2} = 1$ (dada en coordenadas cilíndricas).
En el siguiente applet puedes observar diferentes ejemplos del nudo $(p, q)$-torus. Cambia los valores de $p$ y $q$. También puedes rotar la vista 3D haciendo click con el botón derecho del ratón.


https://www.geogebra.org/m/p…

Transformación de helicoide

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El helicoide puede ser continuamente deformado en un catenoide mediante la transformación
$x(u,v)= \cos \alpha \,\text{senh}\, v \,\text{sen}\, u+  \text{sen}\,  \alpha\, \text{cosh}\, v \,\cos u$
$y(u,v)=- \cos \alpha\, \text{senh}\, v\, \cos u+  \text{sen}\,  \alpha \,\text{cosh}\, v\, \text{sen} \, u$
$y(u,v)=u\, \cos \alpha +v \, \text{sen}\, \alpha.$
Donde $\alpha = 0$ corresponde a un helicoide y $\alpha = \pi / 2$ a un catenoide.

https://ggbm.at/dEhwEJvJ


Dos ejercicios de Topología General

1.- Sea $X=[-1,1]\subset \mathbb{R}$ y consideremos la colección de subconjuntos de $X$ dada por

                                      $\tau=\{U\subset X\:  |\:  0\notin U\;\;   ó\;\;    (-1,1)\subset U\}$
Pruebe que $\tau$ es una topología para $X$ y determine todos sus cerrados.
Solución. Dado que $0\notin \emptyset$, se sigue que $\emptyset \in \tau$ y como $(-1,1)\subset X$ se tiene que $X\in \tau$. 
Consideremos ahora una colección $\{U_i\}_{i\in I}$ de elementos de $\tau$.
(i) Si $0\notin U_i, \forall i$, entonces $0\notin \bigcup_{i\in I}U_i$ y la unión es elemento de $\tau$. (ii) Por otro lado, si existe $j$ tal que $(-1,1)\subset U_j$, se tiene que $(-1,1) \subset \bigcup_{i\in I}U_i$ y también la unión es elemento de $\tau$.

Tomemos ahora la colección $\{U_i\}_{i\in I}\subset \tau$, con $I$ finito. 
(i) Si $(-1,1)\subset U_i,\forall i$, entonces $(-1,1)\subset \bigcap_{i\in I}U_i$ y la intersección $\cap_{i\in I}U_i$ pertence a $\tau$. (ii) Por otro lado, si existe $j\in I$ …

Problema: Mediatriz, bisectriz y circunferencia

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En una circunferencia tracemos una cuerda cualquiera PQ. Sean M y R los puntosde intersección de la mediatriz m de la cuerda PQ con la circunferencia. Consideremos un punto A sobre el arco de circunferencia comprendido entre los puntos Q y P como se muestra en el siguiente applet de Geogebra:

Nota: Ver applet en html aquí

Probar que la recta l que pasa por los puntos A y M es bisectriz del ángulo PAQ. De manera inversa, probar que si l es una bisectriz del ángulo PAQ, entonces l debe pasar necesariamente por el punto M.
Demostración:
Primero probemos que si l es una bisectriz del ángulo PAQ, entonces l debe pasar por el punto M.
  Figura 1

Supongamos que no es así, es decir, que la bisectriz l corta en otro punto M’ diferente de M. Sin pérdida de generalidad, supongamos que el punto está como lo muestra la Figura 2.



Figura 2
Consideremos los segmentos PR y QR. Como PQ es una cuerda, tenemos que el ángulo PAQ es igual al ángulo PRQ. Dado que m es mediatriz de PQ, en particular es bisectriz d…

Galileo Galilei y su ley de caída libre

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Galileo Galilei estaba convencido de que en un espacio completamente libre de aire, dos cuerpos en caída libre recorrerán distancias iguales en tiempos iguales sin importar su peso. Esto contradecía las nociones aristotélicas acerca de la caída libre.
Para comprobar su hipótesis, Galileo realizó un experimento que consistía en dejar caer una esfera de plomo sobre un plano inclinado desde distintas alturas y con diferentes inclinaciones. Con base en esto, Galileo descubrió una relación entre la distancia recorrida y el tiempo en el que cae dicho objeto, esto es: La distancia recorrida por la esfera es proporcional al cuadrado de los tiempos. Es decir, si $d$ es la distancia recorrida y $t$ es el tiempo en el que se recorre dicha distancia, entonces $$\frac{d}{t^2}=k$$ donde $k$ es la constante de proporcionalidad, la cual depende de la inclinación del plano. Esta relación se cumple también para objetos en caída libre. Actualmente, la anterior expresión equivale a la relación para objet…

La suma de todos los números naturales es -1/12

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Qué resultado se obtiene si realizamos la suma de todos los números naturales $$1+2+3+4+5+\cdots$$ Por supuesto, nuestra respuesta sería que el valor de la suma es infinito, lo cual concuerda  con nuestra experiencia y con las reglas matemáticas que hemos aprendido en la escuela. Entonces podemos afirmar que: La suma de todos los números naturales es infinita.  Esto lo podemos escribir de la siguiente forma $$1+2+3+4+5+\cdots =\infty$$ Pero qué pensarías si, utilizando un método matemático, podemos obtener la siguiente expresión $$1+2+3+4+5+\cdots =-\frac{1}{12}$$ Suena un tanto ilógico... bueno, si te interesa saber cómo se puede llegar a este resultado, te invito a leer el documento Curiosidades del Infinito (muestra abajo). Es mi primer intento de recopilación de ejemplos matemáticos que muestran ciertas anomalías cuando se involucra el concepto del infinito. Lo estaré actualizando cuando tenga tiempo con más referencias y por supuesto, con más ejemplos paradójicos. Mucha razón te…

Ilusión de movimiento: Proyección ortográfica

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Es posible realizar proyecciones del espacio tridimensional sobre el plano de dos dimensiones, las cuales se denominan Proyecciones ortográficas.
Las proyecciones ortogonales son muy útiles para describir el movimiento de objetos que se mueven en el espacio por medio de una proyección al plano. También se utilizan para realizar animaciones de objetos en tercera dimensión. Aunque en realidad, lo que se crea es una ilusión de movimiento tridimensional.
Las transformaciones de las coordenadas de un punto (o puntos) del espacio se realizan mediante un cambio de origen (o transformación lineal), cambio de escala, y giros respecto a los ejes (de la misma forma se pueden hacer transformaciones en el plano).


Es posible mover los planos $XY$, $YZ$ y $XZ$ con respecto a tres ángulos diferentes $\alpha$, $\beta$,  y $\gamma$, respectivamente. Para ello se pueden utilizar las siguientes matrices:
$$A=\left(\begin{array}{ccc}
  1 & 0 & 0\\
  0 & \cos  \alpha & -\sin \alpha \\
  0 &a…

Acerca de Los Elementos de Euclides: algunos ejemplos en geometría dinámica

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Los comienzos [de la Matemática] tuvieron una base intuitiva y empírica. El rigor se convirtió en una necesidad con los griegos, y -aunque se lograra poco hasta el siglo XIX- por un momento pareció alcanzado. Pero todos los esfuerzos por perseguir el rigor hasta el final han conducido a un callejón  sin salida, donde ya no hay acuerdo sobre qué significa realmente. La matemática sigue viva y con buena salud, pero solo mientras  se apoye en una base pragmática. Morris Kline (1992, p. 1599)
1. Un poco de historia de Euclides
Euclides (330 a.C. - 275 a.C.) fue un matemático griego. En realidad se conoce muy poco su vida, pese a ser uno de los matemáticos más famosos de la Antigüedad.
Posiblemente Euclides estudió en Atenas, lo cual explica su conocimiento de la geometría elaborada en la escuela de Platón, aunque no parece que estuviera familiarizado con las obras de Aristóteles. Enseñó en la ciudad de Alejandría, donde alcanzó gran fama y prestigio durante el reinado de Tolomeo I Sóter.
Eucl…

Función Riemann integrable, discontinua en un conjunto denso

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En 1854 el matemático alemán Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866) publicó su trabajo:Ueber die Darstellbarkeiteiner Function durch eine trigonometrische Reihe (se puede consultar aquí, en la página 228).Riemann abordó el tema de integrabilidad para funciones más generales. Básicamente, él desarrolló una teoría de integración, con base en las ideas de Augustin Louis Cauchy (1789-1857), debilitando las condiciones necesarias para que una función sea integrable. 
Suponiendo que $f(x)$ es una función acotada en el intervalo $[a,b]$, Riemann consideró una partición $a=x_0,x_1,\ldots , x_n=b$ del intervalo $[a,b]$. Él denotó las longitudes de los sub-intervalos resultantes como $\delta_k=x_k-x_{k-1}$ con $k=0,1,\ldots , n$. Después, Riemann consideró una sucesión $\epsilon_k$ de números reales tales que $0<\epsilon_k < 1$ para definir $t_k=x_{k-1}+\epsilon_k \delta_k$, que por consecuencia tenemos $t_k \in [x_{k-1},x_k]$ para cada $k=0,1,\ldots , n$. Entonces Riemann introdujo …