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Ejercicio de Algebra: sobre divisores de cero en $R[X]$

Sea $R$ anillo conmutativo en el que $a^2=0$ solo cuando $a=0$. Muestre que si el polinomio

                                     $q(X)=a_0X^n+a_1X^{n-1}+\cdots +a_n\in R[X]$

es un divisor de cero, entonces existe un elemento $b\neq 0\in R$ tal que $ba_0=ba_1=\cdots=ba_n=0$.

Solucion: La hipotesis sobre el cuadrado de $a$ permite asegurar que todas las potencias de $a$ solo se anulan cuando $a=0$: supongamos que $a^t=0$ y notemos que

                                           $(a^{t-1})^2=a^{t-1}a^{t-1}=a^ta^ta^{-2}=0$

Asi, por hipotesis tenemos $a^{t-1}=0$. Aplicando un argumento de induccion vemos que $a^t=0$ solo cuando $a=0$.


Sea $p(X)=b_0X^m+b_1X^{m-1}+\cdots +b_m$ polinomio no cero, con $b_0\neq 0$, tal que $q(X)p(X)=0$. Al realizar el producto obtenemos que

                                                  $\begin{cases}
                                                      a_0b_0=0\\
                                              a_0b_1+a_1b_0=0\\
                              …