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Mostrando las entradas de julio, 2016

Raíces de números complejos

Consideremos $z=a+ib$ un número complejo. El número $z$ se puede escribir en su forma polar como \[z=r(\cos \theta +i \,\text{sen}\, \theta)\] donde $r=\sqrt{a^2+b^2}$ y $\theta$ es el ángulo, en radianes, determinado por el eje positivo $x$ y el segmento que une al origen con el punto $z$.
Ahora, la fórmula de Moivre establece que si $z=r(\cos \theta +i\,\text{sen}\, \theta)$ y $n$ es un número entero positivo, entonces \[z^n=r^n(\cos n\theta+i\,\text{sen}\, n\theta).\] Sea $w$ un número complejo. Usando la fórmula de Moivre nos ayudará a resolver la ecuación $z^n=w$ para $z$ cuando $w$ es un número complejo dado. Supongamos que $w=r(\cos \theta +i\,\text{sen}\, \theta)$ y $z=\rho (\cos \psi +i\,\text{sen}\, \psi)$. Entonces por la fórmula de Moivre tenemos $z^n=\rho^n(\cos n\psi+i\,\text{sen}\, n\psi)$. De aquí se sigue que $\rho^n=r=|w|$, por la unicidad de la representación polar, y $n\psi = \theta +k(2\pi)$, donde $k$ es un entero. De esta manera \[z=\sqrt[n]{r}\left[\cos\left(\…

Árbol de Pitágoras

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El árbol pitagórico es una especie de fractal plano construido a partir de un cuadrado, sobre el cual se construyen dos cuadrados, cada uno reducido por un factor lineal de $\frac12\sqrt{2}$ de tal manera que las esquinas de los cuadrados coinciden dos a dos. Este mismo procedimiento se aplica de forma recursiva para los dos cuadrados más pequeñas, ad infinitum

GeoGebra Applet:
http://tube.geogebra.org/material/simple/id/1757793


¿Cómo obtener la fórmula cuadrática?

En varios sitios de internet se puede encontrar la derivación de la fórmula
\[x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]
para resolver la ecuación cuadrática $ax^2+bx+c=0$.

Por ejemplo:

   Caso 1. Aquí     Caso 2. Aquí     Caso 3. Aquí

El siguiente procedimiento me parece menos rebuscado:

                  Sean $a, b$ y $c$ números reales con $a\neq 0$. Consideremos la ecuación
$$ax^2+bx+c=0$$
                  Entonces tenemos
$$ax^2+bx=-c$$
                  Multiplicamos por $4a$ en ambos lados
$$4a^2x^2+4abx=-4ac$$
                  Ahora sumamos en ambos lados $b^2$
$$4a^2x^2+4abx+b^2=-4ac+b^2$$
                  Lo anterior lo podemos escribir como
$$(2ax+b)^2=b^2-4ac$$
                  Entonces, aplicando raíz cuadrada resulta
$$2ax+b=\pm \sqrt{b^2-4ac}$$
                  Despejando $x$ obtenemos la expresión:
$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

Al parecer este procedimiento data del siglo IX y se suele atribuir a un matemático de la India llamado Sridhara Acharya.

Referencias

- O…

Campos vectoriales: Ejemplos

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Los campos vectoriales surgen naturalmente en el estudio de fuerzas físicas, en ingeniería y física, como la fuerza gravitacional, electrostática, centrifugal, etc. Por ejemplo, el campo vectorial definido por la función:
\[
\mathbf{F}(x,y,z)=-w_0\left(\frac{x}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^{3/2}},\frac{z}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^{3/2}},\frac{z}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^{3/2}}\right),
\]
donde $w_0$ es un número real, está asociado con la atracción gravitacional y electrostática. El campo gravitacional alrededor de un planeta y el campo eléctrico alrededor de un punto son similares a este campo. El campo vectorial apunta en dirección al origen (cuando $w_0>0$) y es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia al origen.


Simulación

Campo Gravitacional y Electrostático: Clic en la imagen (o enlace abajo) para acceder al applet.

Enlace: Aquí
Otro ejemplo importante es el campo de velocidad $\mathbf{v}$ del flujo de un fluido en estado estacionario. El vector $\mathbf{v}(x, y)$ mi…

Campos vectoriales

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¿Que es un campo vectorial?

En general, un campo vectorial es una función que asigna vectores a puntos en el espacio.

Un campo vectorial en el plano $xy$ es una función vectorial de dos variables:
\[
\mathbf{F}(x,y)=\left(F_1(x,y),F_2(x,y)\right)=F_1(x,y)\mathbf{i}+F_2(x,y)\mathbf{j}
\]

La mejor manera de visualizar un campo vectorial es al dibujar una flecha representando al vector $\mathbf{F}(x,y)$, el cual comienza en el punto $(x,y)$. Por supuesto, es imposible hacer esto para todos los puntos $(x,y)$ en el plano, pero podemos tener una idea razonable de $\mathbf{F}$ al dibujar algunos puntos representativos en $\mathbb R^2$.


De manera similar, un campo vectorial en tres dimensiones es una función vectorial de tres variables:
\begin{eqnarray*}
\mathbf{F}(x,y,z)&=&\left(F_1(x,y,z),F_2(x,y,z),F_3(x,y,z)\right)\\&=&F_1(x,y,z)\mathbf{i}+F_2(x,y,z)\mathbf{j}+F_3(x,y,z)\mathbf{k}
\end{eqnarray*}



Herramienta graficadora de campos vectoriales en dos y tres dimensiones

Algun…

Automatic parking

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