Campos vectoriales: Ejemplos

Los campos vectoriales surgen naturalmente en el estudio de fuerzas físicas, en ingeniería y física, como la fuerza gravitacional, electrostática, centrifugal, etc. Por ejemplo, el campo vectorial definido por la función:
\[
\mathbf{F}(x,y,z)=-w_0\left(\frac{x}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^{3/2}},\frac{z}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^{3/2}},\frac{z}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^{3/2}}\right),
\]
donde $w_0$ es un número real, está asociado con la atracción gravitacional y electrostática. El campo gravitacional alrededor de un planeta y el campo eléctrico alrededor de un punto son similares a este campo. El campo vectorial apunta en dirección al origen (cuando $w_0>0$) y es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia al origen.


Simulación

Campo Gravitacional y Electrostático: Clic en la imagen (o enlace abajo) para acceder al applet.

Enlace: Aquí

Otro ejemplo importante es el campo de velocidad $\mathbf{v}$ del flujo de un fluido en estado estacionario. El vector $\mathbf{v}(x, y)$ mide la velocidad instantánea de las partículas del fluido (moléculas o átomos) al pasar por el punto $(x, y)$. El término estado estacionario significa que la velocidad en el punto $(x, y)$ no varía en el tiempo -a pesar de que las partículas individuales del fluido están en movimiento. Si el movimiento de una partícula está descrito por la curva $\mathbf{x}(t) = (x(t), y(t))$, entonces su velocidad en el instante $t$ es la derivada
\[
\mathbf{v}= \frac{d\mathbf{x}}{dt}
\]
de su posición con respecto de $t$. De esta manera, para un campo de velocidad, independiente del tiempo, tenemos
\[
\mathbf{v}(x, y) = ( v_1(x, y), v_2(x, y) )
\]
y las partículas del fluido se moverán de acuerdo con un sistema autónomo de ecuaciones diferenciales ordinaria de primer orden
\[
\frac{dx}{dt}= v_1(x, y),\qquad \frac{dy}{dt}= v_2(x, y)
\]

De acuerdo con la teoría básica de sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias, el movimiento de una partícula individual $\mathbf{x}(t)$ estará determinada de manera única solamente por su posición inicial $\mathbf{x}(0) = \mathbf{x}_0$. En la mecánica de fluidos, las trayectorias de las partículas son conocidas como líneas de corriente del flujo. El campo de velocidad $\mathbf{v}$ es tangente en todas partes a las líneas de corriente. Cuando el flujo es estacionario, las líneas de corriente no cambian en el tiempo. Partículas individuales experimentan el mismo movimiento al pasar sucesivamente por un punto determinado en el dominio que ocupa el fluido.

Alguno de los ejemplos más estudiados de campos de velocidad son los siguientes:

1. Rotación rígida: $$\mathbf{v}(x,y)=(-wy,wx),\quad w\in \mathbb R.$$
2. Punto de estancamiento: $$\mathbf{v}(x,y)=(kx,-ky), \quad k\in \mathbb R.$$
3. Vórtice: $$\mathbf{v}(x,y)=\left(-\dfrac{y}{x^2+y^2},\dfrac{x}{x^2+y^2}\right).$$
4. Fuente y sumidero: $$\mathbf{v}(x,y)=\dfrac{q}{2\pi}\left(\dfrac{x}{x^2+y^2},\dfrac{y}{x^2+y^2}\right),\quad q\in \mathbb R.$$


Interactivos

Los siguientes interactivos, hechos en GeoGebra, muestran los flujos por los campos velocidad definidos en la lista anterior. Clic en la imagen (o enlace abajo) para acceder a las simulaciones.

Rotación rígida

Enlace: Aquí
Punto de estancamiento

Enlace: Aquí
Vórtice

Enlace: Aquí
Fuente y sumidero

Enlace: Aquí












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