¿Cómo obtener la fórmula cuadrática?

En varios sitios de internet se puede encontrar la derivación de la fórmula
\[x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]
para resolver la ecuación cuadrática $ax^2+bx+c=0$.

Por ejemplo:

   Caso 1. Aquí     Caso 2. Aquí     Caso 3. Aquí

El siguiente procedimiento me parece menos rebuscado:

                  Sean $a, b$ y $c$ números reales con $a\neq 0$. Consideremos la ecuación
$$ax^2+bx+c=0$$
                  Entonces tenemos
$$ax^2+bx=-c$$
                  Multiplicamos por $4a$ en ambos lados
$$4a^2x^2+4abx=-4ac$$
                  Ahora sumamos en ambos lados $b^2$
$$4a^2x^2+4abx+b^2=-4ac+b^2$$
                  Lo anterior lo podemos escribir como
$$(2ax+b)^2=b^2-4ac$$
                  Entonces, aplicando raíz cuadrada resulta
$$2ax+b=\pm \sqrt{b^2-4ac}$$
                  Despejando $x$ obtenemos la expresión:
$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

Al parecer este procedimiento data del siglo IX y se suele atribuir a un matemático de la India llamado Sridhara Acharya.

Referencias

- O'Connor, J. & Robertson, E. F. Sridhara. The McTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews. Disponible en: http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Sridhara.html




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