El triángulo y la Recta de Euler

Un triángulo, en geometría plana, es un polígono determinado por tres rectas que se cortan dos a dos en tres puntos, los cuales no se encuentran alineados, es decir: no son colineales. Los puntos de intersección de las rectas son los vértices y los segmentos de recta determinados son los lados del triángulo.

Bisectrices

La bisectriz de un ángulo es la semirrecta que pasa por el vértice del ángulo y lo divide en dos partes iguales. También se puede definir la bisectriz como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan (es decir, están a la misma distancia) de las semirrectas de un ángulo.

Las bisectrices de los ángulos internos del triángulo $ABC$ se intersecan en un punto llamado Incentro.  

Figura 1. Incentro: Applet GeoGebra 

El incentro siempre se encuentra en el interior del triángulo. De hecho, es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo.

Alturas

En un triángulo $ABC$, la altura respecto de un lado es el segmento que va desde el pie de la perpendicular a dicho lado o a su prolongación hasta el vértice opuesto a dicho lado.

Las tres alturas de un triángulo se intersecan en un punto llamado Ortocentro. El ortocentro se encuentra dentro del triángulo si éste es acutángulo, coincide con el vértice del ángulo recto si es rectángulo, y se halla fuera del triángulo si es obtusángulo.

Figura 2. Triángulo acutángulo

Figura 3. Triángulo obtusángulo 

Figura 4. Triángulo rectángulo

 Medianas

Las medianas de un triángulo $ABC$ son cada uno de los tres segmentos que unen cada vértice con el punto medio de su lado opuesto.

Las tres medianas se intersecan en un punto llamado de distintas maneras: baricentro, gravicentro, o centroide. Este punto siempre se encuentra en el interior del triángulo.

Figura 5. Medianas de un triángulo: Applet GeoGebra


Mediatrices

La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular a dicho segmento trazada por su punto medio. Equivalentemente se puede definir como el lugar geométrico de todos los puntos que son equidistantes a los extremos del segmento.

Las mediatrices de los lados de un triángulo se cortan en un punto común, el cual es el centro de la única circunferencia a la que pertenecen los tres vértices del triángulo. Este punto se denomina Circuncentro.

Si el triángulo es rectángulo, el circuncentro está en el punto medio de la hipotenusa. Si el triángulo es obtusángulo, está en el exterior del triángulo. Por último, si el triángulo es acutángulo, está en el interior del triángulo.

Figura 6. Triángulo acutángulo

Figura 7. Triángulo obtusángulo

Figura 8. Triángulo rectángulo

Recta de Euler

En un triángulo cualquiera $ABC$ trazamos las alturas, medianas y mediatrices. El ortocentro ($D$), el centroide ($F$) y el circuncentro ($E$) se encuentran alineados. Es decir, los tres puntos son colineales.

La recta que une a los tres puntos $D$, $F$ y $E$ se denomina Recta de Euler.

Figura 9. Recta de Euler: Applet GeoGebra

Los segmentos $EF$ y $FD$ de la Recta de Euler cumplen la siguiente relación
$$\frac{EF}{FD}=\frac{1}{2}$$

Referencias

[1] Coxeter, H. S. M. (1961). Introduction to Geometry. John Wiley & Sons, Inc. New York.

[2] Euler straight line. P.S. Modenov (originator), Encyclopedia of Mathematics. URL: http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Euler_straight_line&oldid=16830

[3] Weisstein, Eric W. Euler Line. MathWorld. Wolfram Research.



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