Problema: Mediatriz, bisectriz y circunferencia

En una circunferencia tracemos una cuerda cualquiera PQ. Sean M y R los puntos de intersección de la mediatriz m de la cuerda PQ con la circunferencia. Consideremos un punto A sobre el arco de circunferencia comprendido entre los puntos Q y P como se muestra en el siguiente applet de Geogebra:

Nota: Ver applet en html aquí

Probar que la recta l que pasa por los puntos A y M es bisectriz del ángulo PAQ. De manera inversa, probar que si l es una bisectriz del ángulo PAQ, entonces l debe pasar necesariamente por el punto M.

Demostración:

Primero probemos que si l es una bisectriz del ángulo PAQ, entonces l debe pasar por el punto M.

  Figura 1

Supongamos que no es así, es decir, que la bisectriz l corta en otro punto M’ diferente de M. Sin pérdida de generalidad, supongamos que el punto está como lo muestra la Figura 2.

Figura 2

Consideremos los segmentos PR y QR. Como PQ es una cuerda, tenemos que el ángulo PAQ es igual al ángulo PRQ. Dado que m es mediatriz de PQ, en particular es bisectriz del ángulo PRQ. Esto implica que el ángulo PAM’ sea igual al ángulo PAM porque l es bisectriz de PAQ. Pero esto no puede ser porque M y M’ son puntos diferentes (Figura 2). 

Por lo tanto, la bisectriz l del ángulo PAQ debe pasar necesariamente por el punto M.

Ahora, probemos que la recta l, la cual pasa por los puntos A y M, es bisectriz del ángulo PAQ.

Consideremos los segmentos PA, QA, PR y QR, como se muestra a continuación en la Figura:

Figura 3

Es claro que la mediatriz m también es bisectris del ángulo PRQ. Por lo que los ángulos PRM y MRQ son iguales.

Consideremos los ángulos PRM y PAM. Ambos ángulos son iguales ya que están comprendidos dentro de la misma cuerda PM. Asímismo, los ángulos MAQ y MRQ son iguales porque están comprendidos en la misma cuerda MQ.  

Figura 4

De lo anterior, se puede concluir que los ángulos PAM y MAQ son iguales. Por lo tanto, la recta l que pasa por los puntos M y A, es bisectriz del ángulo PAQ.