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Dos ejercicios de Topología General

1.- Sea $X=[-1,1]\subset \mathbb{R}$ y consideremos la colección de subconjuntos de $X$ dada por

                                      $\tau=\{U\subset X\:  |\:  0\notin U\;\;   ó\;\;    (-1,1)\subset U\}$
Pruebe que $\tau$ es una topología para $X$ y determine todos sus cerrados.
Solución. Dado que $0\notin \emptyset$, se sigue que $\emptyset \in \tau$ y como $(-1,1)\subset X$ se tiene que $X\in \tau$. 
Consideremos ahora una colección $\{U_i\}_{i\in I}$ de elementos de $\tau$.
(i) Si $0\notin U_i, \forall i$, entonces $0\notin \bigcup_{i\in I}U_i$ y la unión es elemento de $\tau$. (ii) Por otro lado, si existe $j$ tal que $(-1,1)\subset U_j$, se tiene que $(-1,1) \subset \bigcup_{i\in I}U_i$ y también la unión es elemento de $\tau$.

Tomemos ahora la colección $\{U_i\}_{i\in I}\subset \tau$, con $I$ finito. 
(i) Si $(-1,1)\subset U_i,\forall i$, entonces $(-1,1)\subset \bigcap_{i\in I}U_i$ y la intersección $\cap_{i\in I}U_i$ pertence a $\tau$. (ii) Por otro lado, si existe $j\in I$ …