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Mostrando las entradas de noviembre, 2016

Dos ejercicios de Topología General

1.- Sean $X$ espacio topológico y $A,B\subset X$ tales que $X=A\cup B$. Prueba que para $M\subset A\cap B$ que es abierto de $A$ y abierto de $B$ se tiene que $M$ es abierto de $X$.

Solución. Por ser abierto relativo, existen $U,V$ abiertos de $X$ tales que $M=A\cap U,\;\;M=B\cap V$. Notemos que

                         $A\cap U\cap V=M\cap V=B\cap V\cap V =B\cap V=M$
                         $B\cap V\cap U=M\cap U=A\cap U\cap U =A\cap U=M$

De las relaciones anteriores se sigue que
                                    $M=M\cup M=(A\cap U\cap V)\cup (B\cap U\cap V)$
                                                          $=(A\cup B)\cap (U\cap V)$
                                                          $=X\cap (U\cap V)$
                                                          $=U\cap V$.
Así, $M=U\cap V$, cual es abierto de $X$. $\bullet$


2.- Sean $X$ espacio topológico y $U,V\subset X$ abiertos y densos. Prueba que $U\cap V$ es denso en $X$.

Solución. Tomemos $W\subset X$ abierto. …

Nudos en el Toro

En la teoría de nudos, un nudo de toro es un tipo especial de nudo que se encuentra en la superficie de un toro en $\mathbb R^3$. Cada nudo de toro se especifica por un par de números enteros coprimos $p$ y $q$. Un enlace de toro surge si $p$ y $q$ no son coprimos (en cuyo caso el número de componentes es gcd$(p, q)$). Un nudo de toro es trivial si y sólo si $p$ o $q$ es igual a $1$ o $-1$. El ejemplo más simple no trivial es el nudo $(2,3)$-torus, también conocido como nudo de trébol.
El nudo $(p, q)$-torus puede ser dado por la parametrización:
$x=r\cos(p\,\phi )$ $y=r\sin(p\,\phi )$ $z=-\sin(q\,\phi )$ donde $r=\cos(q\,\phi)+2$ y $0<\phi<2\pi$. Esto se encuentra en la superficie del toro dada por $(r-2)^{2} + z^{2} = 1$ (dada en coordenadas cilíndricas).
En el siguiente applet puedes observar diferentes ejemplos del nudo $(p, q)$-torus. Cambia los valores de $p$ y $q$. También puedes rotar la vista 3D haciendo click con el botón derecho del ratón.


https://www.geogebra.org/m/p…

Transformación de helicoide

Imagen
El helicoide puede ser continuamente deformado en un catenoide mediante la transformación
$x(u,v)= \cos \alpha \,\text{senh}\, v \,\text{sen}\, u+  \text{sen}\,  \alpha\, \text{cosh}\, v \,\cos u$
$y(u,v)=- \cos \alpha\, \text{senh}\, v\, \cos u+  \text{sen}\,  \alpha \,\text{cosh}\, v\, \text{sen} \, u$
$y(u,v)=u\, \cos \alpha +v \, \text{sen}\, \alpha.$
Donde $\alpha = 0$ corresponde a un helicoide y $\alpha = \pi / 2$ a un catenoide.

https://ggbm.at/dEhwEJvJ