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Mostrando las entradas de 2017

Otras palabras sobre espacios compactos

Recordemos que previamente mencionamos las siguientes propiedades de conjuntos finitos:
- En todo conjunto finito siempre existe un elemento mínimo y un máximo.
- Toda función continua definida en un conjunto finito alcanza un máximo y un mínimo.
- La unión de una cantidad finita de conjuntos finitos es un conjunto finito
- La intersección de una cantidad arbitraria de conjuntos finitos es un conjunto finito

En esta entrada mostraremos que los espacios compactos también tienen dichas propiedades.


Introducción

El concepto de espacio compacto busca, de cierta manera, generalizar los fenómenos mencionados arriba para conjuntos que no necesariamente son finitos. Esta es una de las motivaciones que dieron origen a la definición de espacio compacto como la daremos más adelante; otras incluyen el estudio de las propiedades de intervalos cerrados y acotados así como el estudio de espacios de funciones continuas; véase [3] para un recuento de la historia de compacidad.


Resultados relevantes
1.- La co…

Toro de Clifford

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Enlace: Clifford torus

Matemáticas dinámicas, enciclopedias y recursos didácticos

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La siguiente lista está compuesta de sitios web muy interesantes de diferentes temas de matemáticas y física. Algunos de ellos contienen también simulaciones e interactivos.
- Earth: https://earth.nullschool.net/



- Encyclopedia of mathematics: https://www.encyclopediaofmath.org/



- Encyclopedia of of integer sequences: http://oeis.org/



- Visual Polyhedra: http://dmccooey.com/polyhedra/index.html



- Wallpaper Symmetry: http://math.hws.edu/eck/jsdemo/wallpaper.html



- Digital mathematics: http://www.malinc.se/



- Matemáticas visuales: http://www.matematicasvisuales.com/index.html



- Math curve: http://www.mathcurve.com/



- Euclid's Elements: http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/elements.html



- Map projections: https://www.jasondavies.com/maps/transition/



- Fractal geometry: http://users.math.yale.edu/public_html/People/frame/Fractals/



- MIT mathlets: http://mathlets.org/



- SciMS: https://teaching.smp.uq.edu.au/scims/



- Wolfram MathWorld: http://mathworld.wolfram.com/



- Probabil…

Unas palabras sobre espacios compactos

En una entrada previa mencionamos brevemente la definición de espacio compacto. En los párrafos de abajo ahondaremos en dicha definición, dando algunos ejemplos y contra ejemplos de espacios compactos.


Introducción
Algunos resultados de naturaleza aritmética o relativos a la Teoría de conjuntos son claramente válidos para conjuntos finitos pero no lo son para conjuntos infinitos; por citar algunos:

- En todo conjunto finito siempre existe un elemento mínimo y un máximo.
- Toda función continua definida en un conjunto finito alcanza un máximo y un mínimo.
- La unión de una cantidad finita de conjuntos finitos es un conjunto finito
- La intersección de una cantidad arbitraria de conjuntos finitos es un conjunto finito


El concepto de espacio compacto busca, de cierta manera, generalizar los fenómenos mencionados arriba para conjuntos que no necesariamente son finitos. Esta es una de las motivaciones que dieron origen a la definición de espacio compacto como la daremos más adelante; otras …

Dibujando grafos

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Con la siguiente aplicación (html5, javascript):

http://g.ivank.net/
puedes diseñar tus propios grafos, como el que se muestra abajo, definido como
$$6:1-4,1-5,1-6,2-4,2-5,2-6,3-4,3-5,3-6$$

El interior del toro

Seguramente has visto un toro (una dona) desde el exterior. Pero ¿alguna vez te has preguntado cómo se ve el toro por dentro? Con el siguiente applet puedes explorar el interior del toro.

Instrucciones:

1. Usa el ratón para girar en el interior o para salir del toro (click sin soltar botón hacia izquierda y derecha, o arriba y abajo).
2. Mueve los deslizadores para cambiar los parámetros que definen a este toro en particular.


Enlace: Inside the torus

Espacio separable

Decimos que un subespacio $A\subset X$ es denso en $X$ si $\overline{A}=X$. Observemos que, utilizando la caracterización de la cerradura en términos de abiertos, se tiene que $A$ es denso si, y sólo si, todo abierto no vacío de $X$ intersecta a $A$.

Ejemplo 1. Observemos que en cualquier espacio dotado de la topología trivial, cualquier subconjunto no vacío es denso. Por el contrario, en cualquier espacio dotado de la topología discreta ningún subconjunto propio es denso.$\blacktriangleleft$
Ejemplo 2. Sea $X$ con la topología del complemento finito y $W\subset X$ infinito. Recordemos que $U\subset X$ es cerrado si y solo si $C=X$ ó $C$ es finito. Así, cualquier cerrado que contenga a $W$ debe ser todo $X$ y por lo tanto es denso.$\blacktriangleleft$

Un espacio topológico es llamado separable (ó de Fréchet) si contiene un subconjunto denso  y numerable. 
Ejemplo 3. La recta real $\mathbb{R}$ con la topología usual es separable pues el conjunto de los racionales $\mathbb{Q}$ es denso y …

El Cálculo Hecho Fácil

En esta (pequeña) entrada nos permitiremos traducir algunos párrafos del libro Calculus Made Easy de S.P. Thompson escrito en 1910 [1]. El título original del libro es:
Calculus Made Easy: being a very-simplest introduction to those beautiful methods of reckoning which are generally called by the terrifying names of the Differential Calculus and the Integral Calculus
cuya traducción podría ser:
Cálculo Hecho Fácil: una muy-simple introducción a aquellos hermosos métodos de conteo que generalmente son llamados con los terribles nombres de Cálculo Diferencial y Cálculo Integral
El primer capítulo, titulado To deliver you from the preliminary terrors(algo así como Para liberarte de los terrores preliminares), consiste de dos páginas que nos disponemos a traducir pues rara vez puede encontrarse en los libros de texto explicaciones tan sencillas y a la vez tan ilustrativas:
El terror preliminar, el cual asfixia a la mayoría de los chicos quinceañeros al intentar aprender a cómo calcular, pue…

Proyección estereográfica (en dimensión 2)

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Lo expuesto en esta entrada se relaciona y amplía lo expuesto aquí
Considere el plano $\mathbb{R}^2$, la esfera unitaria $S^2$ y $N=(0,0,1)$ su polo norte. Pruebe que $\mathbb{R},\:S^2\backslash{N}$ son espacios homeomorfos.
Solución. Definiremos una función $f:S^2\backslash\{N\}\to \mathbb{R}^2$ como sigue: dado el punto $(x,y,z)\in S^2\backslash{N}$ consideramos la línea que une a $N$ con $(x,y,z)$; el punto de intersección de dicha línea con el plano $\mathbb{R}^2\subset \mathbb{R}^3$ es el valor de $f(x)$. Observemos que la función $f$ manda el hemisferio inferior de la esfera al disco unitario en $\mathbb{R}^2$ y el hemisferio superior al exterior del disco. Véase la figura de abajo. 
También puedes usar el siguiente applet: Mueve el punto A definido en la esfera. Puedes cambiar la perspectiva 3d con el ratón.
Enlace: https://ggbm.at/bQKwnfN8
Para conocer las coordenadas de la función $f$ hagamos $f(x,y,z)=(u,v)$ y denotamos $r^2=x^2+y^2,\;s^2=u^2+v^2$. Observemos que se tienen dos…

Ejercicio de Topología

Considere a los espacios $\mathbb{R}^2, \mathbb{R}$ con métrica usual y defina la función

                                  $p: \mathbb{R}^2\to \mathbb{R},\qquad p(x,y)=x$

Pruebe que $p$ es función continua.

Solución. Para $(x,y)\in \mathbb{R}^2$ tomemos $V$ vecindad de $x\in \mathbb{R}$ y consideremos $\epsilon$ tal que $B_\epsilon(x)\subseteq V$. Definamos $U=B_\epsilon((x,y))$ y notemos que $p(U)\subseteq V$, lo cual prueba que $p$ es continua.

El espacio de Arens-Fort

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Nombrado en honor a los matemáticos estadounidenses R. F. Arens y M. K. Fort, el espacio de Arens-Fort es un espacio topológico usado en Topología General principalmente como contraejemplo para ciertos resultados o para mostrar la relación que guardan algunas propiedades topológicas entre sí. En lo que sigue mostraremos un resultado relacionado con sucesiones en dicho espacio.

Definición
Como conjunto, el espacio de Arens-Fort $W$ consiste de todas las parejas ordenadas de enteros no negativos en el plano. En otras palabras, para cada $n\in \mathbb{N}$ consideremos la $n$-ésima columna de $W$ como el conjunto de parejas
                                                          $C_n=\{(n,1),(n,2),(n,3)\ldots,\}$
Hagamos $X=\cup_{n\geq 1}C_n$ y definamos $W=X\cup \{(0,0)\}$. La topología en $W$ se define como sigue: $U\subseteq W$ es abierto si $(0,0)\notin U$ ó si existe $n_0\in \mathbb{N}$ tal que $C_n\backslash U$ es finito para todo $n\geq n_0$.
Notemos que de la primera parte de l…

Desenreda: Grafo bipartito

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Instrucciones: Coloca los puntos de modo que no se superpongan las líneas.

Enlace: https://ggbm.at/wWUrtqBy

Desenreda

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Instrucciones: Coloca los puntos morados de modo que no se superpongan las líneas.




Enlace: https://ggbm.at/hnjyEwSQ

Interactivo de la homotopía del círculo

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Enlace GeoGebra: https://ggbm.at/Pb7G63qT

Homotopía (parte I)

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El concepto de homotopía goza de una naturaleza geométrica muy intuitiva: homotopía es una deformación continua de objetos como espacios o funciones continuas. En esta entrada daremos la definición precisa y daremos ejemplos de homotopías.


Homotopía para funciones
Decimos que dos funciones continuas $f,g:X\to Y$ son homotópicas si existe una función continua
                                                              $H:X\times I\to Y$
tal que $H(x,0)=f(x),\;H(x,1)=g(x),\forall x\in X$. La función $H$ es llamada una homotopía entre $f$ y $g$ y se usa la notación $f\simeq_{H} g$ para designar a dos funciones homotópicas o simplemente $f\simeq g$ si la homotopía se sobreentiende o no hay necesidad de enfatizarla.

Notemos que para cada $t\in I$, la homotopía $H$ determina una función continua $H_t:X\to Y$, donde $H_t(x)=H(x,t)$. De esta consideración se obtiene que la relación de homotopía $\simeq$ corresponde a la idea de una deformación continua de la función $f$ en la función $g$ a…

Invitación a la Topología (parte II)

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Como se mencionó previamente, es preciso contar con una definición más general de límite y de continuidad de manera que pueda aplicarse en varios contextos. Un primer paso para lograr esto es a través del concepto de espacio métrico.

Para calcular la distancia entre dos objetos se deben cumplir ciertas propiedades para que sea una operación útil y aplicable para calcular trayectorias, determinar lugares geométricos y para mediciones más elaboradas; las propiedades que debemos exigir son las usuales:

Se quiere que la distancia $d(x,y)$ entre $x,y$ sea un número positivo y que sea cero en el caso de que $x=y$.Que la distancia de $x$ a $y$ sea la misma que la distancia de $y$ a $x$; es decir, que halla simetría en la determinación de la distancia.Queremos que dos objetos que sean cercanos a un tercero sean cercanos entre si; es decir,
                                                           $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$
          para cualesquiera $x,y,z$ objetos de $X$.

Si podemos defini…

Invitación a la Topología (parte I)

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La continuidad de una función es uno de los conceptos más importantes y fascinantes de las matemáticas y, contrario a lo que todos pensamos la primera vez que vimos su definición, puede establecerse en términos muy simples: un función $f$ es continua si se puede trazar su gráfica sin levantar el lápiz de la hoja; es decir, que la gráfica de $f$ no tiene cortes o brincos; véase la figura de abajo donde se muestra la gráfica de una función que ``brinca'' en el origen


La descripción anterior es ilustrativa pero es complicado usarla en casos como el de la función
                              $f(x)=\begin{cases}x\sin (1/x),&x\neq0\\0,&x=0 \end{cases},$
cuya gráfica se muestra abajo



En términos geométricos, $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ es continua en $x_0$ siempre que puntos cercanos a $x_0$ tengan imágenes muy cercanas a $f(x_0)$. Pero, ¿qué significa estar cerca?, ¿qué distancia debe haber entre dos puntos para ser considerados cercanos? Estas consideraciones son resuel…

Proyección estereográfica

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En esta entrada continuaremos con lo expuesto hace días acerca de la compactificación unipuntual del espacio euclidiano $\mathbb{R}^n$.


Tomemos la compactificación $\widetilde{\mathbb{R}}$ y consideremos la circunferencia

                                                        $C=\{(x,y) | x^2+(y-1/2)^2=(1/2)^2\}$

para definir $h:C\to \widetilde{\mathbb{R}}$ como sigue:

- $h(N)=\infty$, para $N=(0,1)$
- $h(x)$ es el punto en el eje $X$ donde la linea que parte de $N$ y que pasa por $x\in C$ corta a dicho eje; véase la figura de abajo




Claramente $h$ es una función continua. Para ver que $h$ es homeomorfismo tomamos $x\in \mathbb{R}$, trazamos la linea entre $x$ y el punto $N$; el punto de intersección de la recta con la circunferencia define la inversa de $h$. Esto prueba que la compactificación $\widetilde{\mathbb{R}}$ es un espacio homeomorfo a la circunferencia $S^1$.



El caso de la esfera unitaria $S^2$ en el espacio euclidiano $\mathbb{R}^3$ es muy similar a lo hecho para el caso u…