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Interactivo de la homotopía del círculo

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Homotopía (parte I)

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El concepto de homotopía goza de una naturaleza geométrica muy intuitiva: homotopía es una deformación continua de objetos como espacios o funciones continuas. En esta entrada daremos la definición precisa y daremos ejemplos de homotopías.


Homotopía para funciones
Decimos que dos funciones continuas $f,g:X\to Y$ son homotópicas si existe una función continua
                                                              $H:X\times I\to Y$
tal que $H(x,0)=f(x),\;H(x,1)=g(x),\forall x\in X$. La función $H$ es llamada una homotopía entre $f$ y $g$ y se usa la notación $f\simeq_{H} g$ para designar a dos funciones homotópicas o simplemente $f\simeq g$ si la homotopía se sobreentiende o no hay necesidad de enfatizarla.

Notemos que para cada $t\in I$, la homotopía $H$ determina una función continua $H_t:X\to Y$, donde $H_t(x)=H(x,t)$. De esta consideración se obtiene que la relación de homotopía $\simeq$ corresponde a la idea de una deformación continua de la función $f$ en la función $g$ a…