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Mostrando las entradas de abril, 2017

Proyección estereográfica (en dimensión 2)

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Lo expuesto en esta entrada se relaciona y amplía lo expuesto aquí
Considere el plano $\mathbb{R}^2$, la esfera unitaria $S^2$ y $N=(0,0,1)$ su polo norte. Pruebe que $\mathbb{R},\:S^2\backslash{N}$ son espacios homeomorfos.
Solución. Definiremos una función $f:S^2\backslash\{N\}\to \mathbb{R}^2$ como sigue: dado el punto $(x,y,z)\in S^2\backslash{N}$ consideramos la línea que une a $N$ con $(x,y,z)$; el punto de intersección de dicha línea con el plano $\mathbb{R}^2\subset \mathbb{R}^3$ es el valor de $f(x)$. Observemos que la función $f$ manda el hemisferio inferior de la esfera al disco unitario en $\mathbb{R}^2$ y el hemisferio superior al exterior del disco. Véase la figura de abajo. 
También puedes usar el siguiente applet: Mueve el punto A definido en la esfera. Puedes cambiar la perspectiva 3d con el ratón.
Enlace: https://ggbm.at/bQKwnfN8
Para conocer las coordenadas de la función $f$ hagamos $f(x,y,z)=(u,v)$ y denotamos $r^2=x^2+y^2,\;s^2=u^2+v^2$. Observemos que se tienen dos…

Ejercicio de Topología

Considere a los espacios $\mathbb{R}^2, \mathbb{R}$ con métrica usual y defina la función

                                  $p: \mathbb{R}^2\to \mathbb{R},\qquad p(x,y)=x$

Pruebe que $p$ es función continua.

Solución. Para $(x,y)\in \mathbb{R}^2$ tomemos $V$ vecindad de $x\in \mathbb{R}$ y consideremos $\epsilon$ tal que $B_\epsilon(x)\subseteq V$. Definamos $U=B_\epsilon((x,y))$ y notemos que $p(U)\subseteq V$, lo cual prueba que $p$ es continua.