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Mostrando las entradas de mayo, 2017

Unas palabras sobre espacios compactos

En una entrada previa mencionamos brevemente la definición de espacio compacto. En los párrafos de abajo ahondaremos en dicha definición, dando algunos ejemplos y contra ejemplos de espacios compactos.


Introducción
Algunos resultados de naturaleza aritmética o relativos a la Teoría de conjuntos son claramente válidos para conjuntos finitos pero no lo son para conjuntos infinitos; por citar algunos:

- En todo conjunto finito siempre existe un elemento mínimo y un máximo.
- Toda función continua definida en un conjunto finito alcanza un máximo y un mínimo.
- La unión de una cantidad finita de conjuntos finitos es un conjunto finito
- La intersección de una cantidad arbitraria de conjuntos finitos es un conjunto finito


El concepto de espacio compacto busca, de cierta manera, generalizar los fenómenos mencionados arriba para conjuntos que no necesariamente son finitos. Esta es una de las motivaciones que dieron origen a la definición de espacio compacto como la daremos más adelante; otras …

Dibujando grafos

Imagen
Con la siguiente aplicación (html5, javascript):

http://g.ivank.net/
puedes diseñar tus propios grafos, como el que se muestra abajo, definido como
$$6:1-4,1-5,1-6,2-4,2-5,2-6,3-4,3-5,3-6$$

El interior del toro

Seguramente has visto un toro (una dona) desde el exterior. Pero ¿alguna vez te has preguntado cómo se ve el toro por dentro? Con el siguiente applet puedes explorar el interior del toro.

Instrucciones:

1. Usa el ratón para girar en el interior o para salir del toro (click sin soltar botón hacia izquierda y derecha, o arriba y abajo).
2. Mueve los deslizadores para cambiar los parámetros que definen a este toro en particular.


Enlace: Inside the torus

Espacio separable

Decimos que un subespacio $A\subset X$ es denso en $X$ si $\overline{A}=X$. Observemos que, utilizando la caracterización de la cerradura en términos de abiertos, se tiene que $A$ es denso si, y sólo si, todo abierto no vacío de $X$ intersecta a $A$.

Ejemplo 1. Observemos que en cualquier espacio dotado de la topología trivial, cualquier subconjunto no vacío es denso. Por el contrario, en cualquier espacio dotado de la topología discreta ningún subconjunto propio es denso.$\blacktriangleleft$
Ejemplo 2. Sea $X$ con la topología del complemento finito y $W\subset X$ infinito. Recordemos que $U\subset X$ es cerrado si y solo si $C=X$ ó $C$ es finito. Así, cualquier cerrado que contenga a $W$ debe ser todo $X$ y por lo tanto es denso.$\blacktriangleleft$

Un espacio topológico es llamado separable (ó de Fréchet) si contiene un subconjunto denso  y numerable. 
Ejemplo 3. La recta real $\mathbb{R}$ con la topología usual es separable pues el conjunto de los racionales $\mathbb{Q}$ es denso y …

El Cálculo Hecho Fácil

En esta (pequeña) entrada nos permitiremos traducir algunos párrafos del libro Calculus Made Easy de S.P. Thompson escrito en 1910 [1]. El título original del libro es:
Calculus Made Easy: being a very-simplest introduction to those beautiful methods of reckoning which are generally called by the terrifying names of the Differential Calculus and the Integral Calculus
cuya traducción podría ser:
Cálculo Hecho Fácil: una muy-simple introducción a aquellos hermosos métodos de conteo que generalmente son llamados con los terribles nombres de Cálculo Diferencial y Cálculo Integral
El primer capítulo, titulado To deliver you from the preliminary terrors(algo así como Para liberarte de los terrores preliminares), consiste de dos páginas que nos disponemos a traducir pues rara vez puede encontrarse en los libros de texto explicaciones tan sencillas y a la vez tan ilustrativas:
El terror preliminar, el cual asfixia a la mayoría de los chicos quinceañeros al intentar aprender a cómo calcular, pue…