Campo vectorial dependiente del tiempo

Un campo vectorial dependiente del tiempo
$$\mathbf v(x(t),y(t),t)=u(x(t),y(t),t)\,\mathbf i+v(x(t),y(t),t)\,\mathbf j,$$
es una construcción en cálculo vectorial que generaliza el concepto de campos vectoriales.
También se puede escribir de forma breve como
$$\mathbf  v(\mathbf x, t)=\mathbf  v(\mathbf x(t), t).$$
Esencialmente, un campo vectorial dependiente del tiempo cambia de deposición a medida que pasa el tiempo. Para cada instante del tiempo, se asocia un vector a cada punto en un espacio euclidiano o en una variedad.
Un campo vectorial (o campo de velocidad) dependiente del tiempo puede representar la velocidad de flujo de un fluido ideal o sin viscosidad.

Trayectorias y líneas de corriente

Supongamos que nuestro fluido está contenido en una región $D\subset \mathbb R^2$ y $\mathbf x= (x,y)$ es una posición en $D$. El movimiento de cada partícula en el fluido está descrito por el campo de velocidad  $\mathbf v(\mathbf x(t), t)$. Supongamos que la posición de la partícula en el tiempo $t$ está determinado por las variables $(x(t),y(t))$. La velocidad de la partícula en el tiempo $t$ en la posición $(x(t),y(t))$ es

$$\frac{d}{dt}x(t)=u(x(t),y(t),t),$$

$$\frac{d}{dt}y(t)=v(x(t),y(t),t).$$

Definición 1 (Trayectoria): La trayectoria de una partícula en un fluido es la curva trazada por  la partícula conforme el tiempo pasa. Si la partícula comienza en la posición $(x_0,y_0)$ entonces su trayectoria es la solución del sistema de ecuaciones diferenciales

$$\frac{d}{dt}\mathbf x(t)= \mathbf v(x(t),t)$$

con condiciones iniciales $x(0)=x_0$, $y(0)=y_0$.

Definición 2 (Líneas de corriente): Supongamos que fijamos el tiempo para un flujo de un fluido determinado por $\mathbf v(\mathbf x,t)$. Una línea de corriente es una curva integral de $\mathbf  v(\mathbf x,y)$ para $t$ fijo. Es decir, es una curva $\mathbf x (s)$ paramétrica que satisface el sistema de ecuaciones diferenciales

$$\frac{d}{ds}\mathbf x(s)=\mathbf v(\mathbf x(s),t)$$

con $t$ fija como una constante.

Observación: Si el campo de velocidad $\mathbf v$ es independiente del tiempo, es decir, $\mathbf v(\mathbf x)$, o equivalentemente $\partial \mathbf v/\partial t=0$, entonces las trayectorias y las líneas de corriente coinciden. Los flujos para los cuales se cumple que $\partial \mathbf v/\partial t=0$, se denominan estacionarios.

Ejemplo 1: Consideremos el campo de velocidad
$$\mathbf v(x,t)=-ky\, \mathbf i+kx\,\mathbf j,$$
con $k>0$ constante. Entonces la trayectoria para la partícula que comienza en el punto $(x_0,y_0)$ es la curva integral del sistema de ecuaciones diferenciales
$$\frac{dx}{dt}=-ky,\;\;\;\frac{dy}{dt}=kx.$$
Podemos resolver este sistema de ecuaciones con diferentes métodos, uno es el siguiente. Diferenciamos la primera ecuación con respecto de $t$ para obtener
$$\frac{d^2x}{dt^2}=-k\frac{dy}{dt}.$$
Usando la segunda ecuacion, obtenemos
$$\frac{d^2x}{dt^2}=-k^2x.$$
En otras palabras, necesitamos resolver una ecuación diferencial lineal de segundo orden para $x=x(t)$ dada. La solución general de esta ecuación está dada por la expresión
$$x(t)=A\cos kt+B\sin kt$$
donde $A$ y $B$ son constantes arbitrarias. En este caso, podemos encontrar $y=y(t)$ al sustituir esta solución por $x=x(t)$ en la primera ecuación del par de ecuaciones diferenciales de la siguiente manera:
$$\begin{equation*} \begin{split} y(t) & = -\frac{1}{k}\frac{dx}{dt}\\       &=-\frac{1}{k}(-Ak\sin kt +Bk \cos kt)\\       &= A\sin kt -B\cos kt. \end{split} \end{equation*}$$
Dado que $x(0)=x_0$ y $y(0)=y_0$, tenemos que $A=x_0$ y $B=-y_0$. Por lo cual, la trayectoria de la partícula posición inicial $(x_0,y_0)$ está dada por
$$\begin{equation*} \begin{split} x(t) & = x_0\cos kt - y_0\sin kt,\\ y(t) &=  x_0\sin kt + y_0\cos kt,\\ \end{split} \end{equation*}$$
Esta partícula traza una trayectoria circular de radio $\sqrt{x_0^2+y_0^2}$. Dado que este flujo es estacionario, las líneas de corriente coinciden con las trayectorias.

En el siguiente interactivo se puede apreciar la trayectoria de las partículas así como el campo de velocidad definido por
$$\mathbf v(x,t)=-ky\, \mathbf i+kx\,\mathbf j.$$
Instrucciones: Haz clic y mantén presionado el botón para agregar partículas y observa cómo fluyen. Mueve el deslizador para cambiar el valor de $k$ y observa cómo cambia el flujo de las partículas. Da clic al botón Field para mostrar el campo de velocidad. Da clic en el botón Trace para mostrar la trayectoria de las partículas.

Ejemplo 2: Consideremos ahora el flujo determinado por el campo de velocidad dependiente del tiempo

$$\mathbf v = u_0\,\mathbf  i + v_0\cos (kx-\alpha t)\, \mathbf j,$$

donde $u_0$, $v_0$, $k$ y $\alpha$ son constantes. Calculemos la trayectoria y la línea de corriente para la partícula $(x_0,y_0)=(0,0)$ en el tiempo $t=0$. Comencemos con la trayectoria. Necesitamos resolver el par de ecuaciones diferenciales ordinales

$$\frac{dx}{dt}=u_0\quad\text{y}\quad\frac{dy}{dt}=v_0\cos(kx-\alpha t).$$

Podemos iniciar resolviendo la primera ecuación diferencial, la cual nos da

$$x(t)=u_0t,$$

donde usamos el hecho de que $x(0)=0$. Ahora sustituimos esta expresión para $x=x(t)$ en la segunda ecuación diferencial e integramos con respecto al tiempo (usando $y(0)=0$), así tenemos

$$\frac{dy}{dt}=v_0\cos((xu_0-\alpha)t)$$

$$y(t)=0+\int_0^tv_0\cos((xu_0-\alpha)s)ds$$

$$y(t)=\frac{v_0}{ku_0-\alpha}\sin((xu_0-\alpha)t).$$

Si eliminamos el tiempo $t$ en las fórmulas $x=x(t)$ y $y=y(t)$, podemos afirmar que la trayectoria a través de $(0,0)$ es

$$y=\frac{v_0}{ku_0-\alpha}\sin\left(\left(k-\frac{\alpha}{u_0}\right)x\right).$$

Ahora, para calcular la línea de corriente a través de $(0,0)$, fijamos $t$ y resolvemos el par de ecuaciones diferenciales

$$\frac{dx}{ds}=u_0\quad\text{y}\quad\frac{dy}{ds}=v_0\cos(kx-\alpha t).$$

Como hicimos antes, podemos resolver la primera ecuación de tal forma que $x(s)=u_0s$ usando $x(0)=0$. Al sustituir el resultado en la segunda ecuación e integramos con respecto a $s$ -recordando que $t$ es constante- para obtener

$$\frac{dy}{ds}=v_0\cos(xu_0s-\alpha t)$$

$$y(s)=0+\int_0^s v_0\cos(xu_0 r-\alpha t)dr$$

$$y(s)=\frac{v_0}{ku_0}\big(\sin(ku_0s-\alpha t) - \sin (-\alpha t)\big).$$

Si eliminamos el parámetro $s$ de las expresiones $x=x(s)$ y $y=y(s)$ de arriba, podemos concluir que la ecuación de la línea de corriente es

$$y=\frac{v_0}{ku_0}(\sin(kx-\alpha t) + \sin (\alpha t)).$$

La ecuación de la línea de corriente a través $(0,0)$ cuando $t=0$ está dada por

$$y=\frac{v_0}{ku_0}\sin(kx).$$

En el siguiente interactivo se puede apreciar la trayectoria de las partículas así como el campo de velocidad definido por
$$\mathbf v = u_0\,\mathbf  i + v_0\cos (kx-\alpha t)\, \mathbf j.$$
Instrucciones: Haz clic y mantén presionado el botón para agregar partículas y observa cómo fluyen. Mueve los deslizadores para cambiar los valores de $u_0$, $v_0$, $k$ y $\alpha$. Observa cómo cambia el flujo de las partículas y el campo de velocidad. Da clic al botón Field para mostrar el campo de velocidad. Haz clic en el botón Trace para mostrar la trayectoria. El interactivo inicia con los siguientes valores:

$$\mathbf v(x,y,t)=\frac{1}{2}\,\mathbf i+\cos(1.2x-1.44t)\,\mathbf j .$$

A continuación encontrarás más interactivos del flujo de partículas que se mueven con respecto a un campo vectorial dependiente del tiempo.

Instrucciones: Haz clic y mantén presionado el botón para agregar partículas y observa cómo fluyen. Haz clic en el botón Field para mostrar el campo vectorial dependiente del tiempo.

1. Cuádruple gyro.
Primero definimos las funciones $$\begin{eqnarray*} f(x,t)&=&\pi (0.25\sin(2\pi / 10 t) x^2 + (1 - 2 (0.25) \sin(2\pi / 10 t)) x),\\ g(x,t)&=&\pi (0.25\sin(2\pi / 10 t) x^2 + (1 - 2 (0.25) \sin(2\pi / 10 t)) x),\\ h(x,t)&=&2 (0.25) \sin(2\pi / 10 t) x + 1 - 2 (0.25) \sin(2\pi / 10 t). \end{eqnarray*}$$ Entonces, el cuádruple gyro se define con la función vectorial: $$\mathbf v = -\pi 0.5 \sin(g(x,t)) \cos(\pi y)\,\mathbf i + \pi 0.5 \cos(g(x,t)) \sin(\pi y) h(x,t)\,\mathbf j.$$

Simulation

2. $\mathbf v(x,y,t)=\cos(y+t)\,\mathbf i+\sin(x-\frac12 t)\,\mathbf j$.

3. $\mathbf v(x,y,t)=\cos(x-y+t)\,\mathbf i+\sin(2x+y\frac12 +t)\,\mathbf j$.

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